Задачи по математика за 8 клас

[siiddd]

Задача 1
Да се реши уравнението [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex] , където [tex]c[/tex] е най - голямото число от дефиниционната област на функцията [tex]f(x) = \sqrt{6-x}[/tex]
[tex]b = \frac{47}{3\sqrt{7} + 4} - \frac{\sqrt{20} + \sqrt{5}}{ 3\sqrt{5} } - 3\sqrt{7}[/tex] и
[tex]a = (\frac{m-n}{mn}-\frac{3m+n}{mn-n^2}+\frac{3n+m}{mn-n^2}) : \frac{2m+2n}{mn} + \frac{2m}{n-m}[/tex]

Задача 2
Два машинописки трябва да напечатат ръкопис. След 2 часа съвместна работа първата от тях получила друга задача и втората сама довършила работата за 1 час и 20 минути. Да се намери за колко часа всяка от машинописките може сама да напечата ръкописа, ако за това на първата от тях е необходимо с 20% по - малко време, отколкото време.

Задача 3
Даден е трапец [tex]ABCD[/tex] с основи [tex]AB[/tex] и [tex]CD (AB > CD)[/tex]. Точка [tex]O[/tex] е средата на средната отсечка [tex]MN[/tex] на трапеца [tex]( M \in AD , N \in BC )[/tex]. Правата [tex]CO[/tex] пресича [tex]AB[/tex] в точка [tex]P[/tex]. Да се докаже, че триъгълниците [tex]MCB[/tex] и [tex]PBC[/tex] са равнолицеви.

Задача 4
Върху окръжност с център [tex]O[/tex] са взети четири точки [tex]A, B, C[/tex] и [tex]D[/tex] така, че [tex]\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}[/tex]. Да се докаже, че четириъгълникът [tex]ABCD[/tex] е правоъгълник.

Задача 5
Даден е изразът:
[tex]P = \frac{a + 2.5}{a + 1} + (\frac{1}{2a - 1})^2 : (\frac{2a + 1}{8a^3 - 1} - \frac{1}{1 - 4a - 4a^2})[/tex]
а) Да се намерят допустимите стойности на [tex]a[/tex] и да се опрости [tex]P[/tex]
б) Да се намери стойността на [tex]P[/tex],ако [tex]a[/tex] се замести с по - големият корен на уравнението:
[tex](\sqrt{2} - 1).x^2 - (\sqrt{2} + 1).x + 0.5 = 0[/tex]

Задача 6
В равнобедрения трапец [tex]ABCD (AB || CD)[/tex] диагоналите [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] се пресичат в точка [tex]O[/tex] и [tex]\angle AOB = 60^\circ[/tex].Да се докаже, че средите на отсечките [tex]AO, DO[/tex] и [tex]BC[/tex] са върхове на равностранен триъгълник

Задача 7
Турист пътувал с лодка срещу течението на река. Като минавал край едно дърво, шапката му се закачила, паднала във водата и тръгнала по течението. Половин час след случката туристът разбрал, че шапката му паднала, обърнал лодката и с предишните усилия загребал по течението. На [tex]a[/tex] от дървото, той стигнал шапката си. Да се намери скоростта на течението.

Задача 8
Да се реши уравнението [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex] , ако коефициентите [tex]a, b[/tex]и[tex]c[/tex] удовлетворяват условията:
(1) [tex]a[/tex] е абсцисата на пресечената точка на графиките на функциите [tex]y = 3x + 1[/tex]и[tex]y = -2x +6[/tex] (2) [tex]b[/tex] е стойността на израза
[tex][\sqrt{10^2}.(\sqrt{7})^2 - (1\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2}{5}})^2 (\sqrt{3})^6 - (-\sqrt{4})^2] : \frac{(-2\sqrt{3})^4 - (3\sqrt{5})^2 + 1}{ \sqrt{5}(\sqrt{5})^3}[/tex]
(3) [tex]c[/tex] е стойността на параметъра [tex]p[/tex] , за която графиката на функцията [tex]f(x) = (p^2 + 6)x - p - 4[/tex] е успоредна на графиката на функцията [tex]g(x) = 70x + 4[/tex]

Задача 9
Даден е трапецът [tex]ABCD (AB || CD)[/tex], за който [tex]AB = 2CD[/tex] и точка [tex]M[/tex]е среда на основата [tex]AB[/tex]
а) Диагоналът [tex]AC[/tex]пресича отсечката [tex]DM[/tex]в точка[tex]P[/tex], а диагоналът[tex]BD[/tex] пресича[tex]CM[/tex]в точка [tex]Q[/tex].Ако [tex]CD = 8cm[/tex], намерете дължината на отсечката [tex]PQ[/tex].
б) Ако точка [tex]F[/tex] е такава, че[tex]\vec{MF} = 2.\vec{BC}[/tex], докажете, че точка [tex]D[/tex] е медицентър на [tex]\Delta ACF[/tex]

Задача 10
а) Ако [tex]x_{1}[/tex]и[tex]x_{2}[/tex] са корени на уравнението [tex]x^2 - 10x - 3 = 0[/tex], намерете стойността на израза [tex]\sqrt{3 + 10x_{1}} + \sqrt{3 + 10x_{2}}[/tex]
б) Да се намерят естествените решения на неравенството
[tex]\frac{2\sqrt{2} - x}{\frac{1}{\sqrt{3} -\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{4} -\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} -\sqrt{4}} - \frac{1}{\sqrt{6} -\sqrt{5}}} < \sqrt{3} + 1[/tex]

[strangerforever]

По последната:

[tex]x_1 = 5 + \sqrt{28}[/tex]
[tex]x_2 = 5 - \sqrt{28}[/tex]

Изразът става [tex]\sqrt{53 + 10\sqrt{28}} + \sqrt{53 - 10\sqrt{28}} < = > \sqrt{5^2 + (\sqrt{28})^2 + 10\sqrt{28}} + \sqrt{5^2 + (\sqrt{28})^2 - 10\sqrt{28}} < = > |5 + \sqrt{28}| + |5 - \sqrt{28}|[/tex]
[tex]< = > 5 + \sqrt{28} + \sqrt{28} - 5 <=> 2\sqrt{28} <=> 4\sqrt{7}[/tex]