две задачи за окръжности

[Tralala]

Имам проблем със следните задачи:
1. Върху едното рамо на прав ъгъл с връх т.О,са взети точките А и В,така че ОА=а и ОВ=b .
Намерете радиуса на окръжност,която минава през точките А и В и се допира до другото рамо на ъгъла.

2. Отсечката AL(L[tex]\in[/tex]BC)е ъглополовяща в равнобедрения триъгълник АВС(АС=ВС).Окръжността с диаметър AL минава през средата на АС.
а) Намерете ъглите на [tex]\Delta[/tex]АВС.
б) Окръжността,описана около [tex]\Delta[/tex] ACL,има център т.О и радиус R. Ако т.О1 е център на описаната около [tex]\Delta[/tex] ABL окръжност,докажете , че ОО1=R .

Предварително благодаря за помощта .

[Martin Nikovski]

1.

Чертеж 1.

Drawing.jpg (14.67 KiB) Прегледано 242 пъти

[tex]OM[/tex] - допирателна към [tex]k[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle OMC=90^\circ[/tex]
Построяваме [tex]CH[/tex] - височина в [tex]\Delta ABC[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle OHC=90^\circ[/tex]
[tex]\angle MOH=90^\circ[/tex] - по условие.
[tex]\angle OMC=\angle OHC=\angle MOH=90^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]OHCM[/tex] е правоъгълник. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]OM=CH[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta ABC[/tex]:
[tex]AC=BC=R[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta ABC[/tex] е равнобедрен. [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CH[/tex] освен височина, е и медиана.
Тогава [tex]AH=BH=\frac{AB}{2 }=\frac{OB-OA}{2 } =\frac{b-a}{2 }[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta BHC[/tex] ([tex]\angle BHC=90^\circ[/tex]):
[tex]\cyr{PT}:\ BH^2+CH^2=BC^2\ \Rightarrow\ CH^2=BC^2-BH^2=R^2-\left(\frac{b-a}{2 }\right)^2[/tex]
От свойството на секущата и допирателната: [tex]OA.OB=OM^2=CH^2[/tex] (понеже [tex]OM=CH[/tex]).
[tex]ab=R^2-\left(\frac{b-a}{2 }\right)^2\ \Rightarrow\ R^2=ab+\left(\frac{b-a}{2 }\right)^2=ab+\frac{b^2-2ab+a^2}{4 }[/tex]
[tex]R^2=\frac{4ab+b^2-2ab+a^2}{4 }=\frac{a^2+2ab+b^2}{4 }=\left(\frac{a+b}{2 }\right)^2 \ \Rightarrow\ R=\frac{a+b}{2 }[/tex]