Поредните задачи свързани с окръжности.

[Sweet_dreams]

Преглеждайки наново учебната си тетрадка при подготовката за класното ми утре, се затрудних доста на някои от задачите .. та понеже майка ми е прекалено "заета" в момента, ще помоля вас за помощ. Ще ви кажа и докъде стигам с тях.

1. За триъгълник АВС .. съотношението за алфа:бета:гама е 2:5:3. Външно за триъгълника е построен квадрат АСМН. Ако АМхСН в точка О, големината на ъгъл ВОС е .. ?

Има и няколко възможни отговора, но аз не си позволявам да гледам точно тях .. в общи линии, работех главно по дадения чертеж и четириъгълника АОСВ, който се получава. В този четириъгълник вече знаем ъгъл В - 90 градуса, ъгъл А е 36 + х, като с х се опитвам да изразя другата половинка от А .. така мога да получа и всички ъгли на четириъгълника. После мога да разгледам и триъгълник АСО, където по мои сметки С се получава 36 градуса, а А - 54. Тогава ъгъл О в АОС е 90 градуса. Усещам,че се лутам в кръг, но и не се сещам за най-рационалното решение.
Ако разбера тази задача, ще разбера и подобната на нея, поместена на следващата страница, така че ще съм ви много благодарна за отговорите.


2. Около окръжност с радиус 3 см. е описан правоъгълен трапец АВСД, като АД е перпендикулярна на АВ, а АВ е успоредна на ДС. Ъгъл ВСД е равен на 150 градуса. Трябва да се намери периметърът и лицето на трапеца.

3. Дадено:
- Равнобедрен трапец АВСД, който е описан около k
- Ъгъл ВАД : ъгъл АДС е в съотношение 1:5
- Средна основа на трапеца : 12 см.
Търсим : Радиуса на окръжноста.

Както казах, утре имам класно, така че са ми доста спешни обясненията. Благодаря ви предварително!

[Martin Nikovski]

1. Ще ти бъде много по-лесно ако използваш, че [tex]\angle ACO=45^\circ[/tex], защото [tex]CH[/tex] е диагонал на квадрата.
2. Ако си направиш чертежа, ще видиш, че [tex]AD=2r=2.3=6cm[/tex]. Ако спуснеш височината [tex]CH[/tex], за нея ще получим, че [tex]CH=AD=6cm[/tex].
[tex]\angle BCH=\angle BCD-\angle HCD=180^\circ - 90^\circ =60^\circ[/tex]. Тогава [tex]\angle HBC=30^\circ[/tex], откъдето [tex]CH=\frac{1}{ 2} BC\ \Rightarrow\ BC=2CH=2.6=12cm[/tex]
Използвайки свойството на описан около окръжност четириъгълник: [tex]AB+CD=AD+BC=6+12=18[/tex]...
3. От отношенията намираш ъглите - [tex]30^\circ[/tex] и [tex]150^\circ[/tex]
Построяваш височината [tex]DH[/tex] и от правоъгълния [tex]\Delta AHD[/tex]: [tex]DH=\frac{1}{2 }AD[/tex], тъй като [tex]\angle HAD=30^\circ[/tex].
[tex]DH=2r[/tex] (като предишната задача), откъдето [tex]AD=2DH=2.2r=4r=BC[/tex]
Използвайки свойството на описан около окръжност четириъгълник: [tex]AB+CD=AD+BC=4r+4r=8r[/tex]...
Средната основа е [tex]MN=\frac{AB+CD}{ 2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]12=\frac{8r}{2 }[/tex]
[tex]r=3cm[/tex]