Задачи от Геометрия

[ivka64]

Задачките ме позатрудниха
1зад. Даден е квадрат ABCD. Точката Q е средата на страната CD, а P лежи на диагонала BD, като 3BP = PD, Намерете ъгъл APQ.

2зад. Даден е равнобедрен триъгълник ABC с основа AB= 10см и бедра AC=BC=13см. Точките P и Q лежат съответно на BC и AC. Вярно ли е, че четириъгълникът ABPQ е трапец, ако:

a/ AP=BG=11см
б/ AP=BQ=9.5 см?

Ако може за 2-ра зад, да ми разясните как се решава, а не само отговора

[Xixibg]

1.задача
Построяваме [tex]CP[/tex]
[tex]\triangle ABP[/tex]е еднакъв на[tex]\triangle CBP[/tex] =>[tex]AP=CP[/tex]
Нека [tex]AC[/tex]∩[tex]BD=O[/tex]
Нека [tex]M[/tex] е среда на [tex]CB[/tex]
[tex]\triangle BOC[/tex] е правоъгълен равнобедрен => <[tex]OMB=90[/tex] =>[tex]MP=BP=OP[/tex]
[tex]\triangle PMC[/tex]е еднакъв на[tex]\triangle POQ[/tex] =>[tex]PQ=CP[/tex] =>[tex]PQ=PA[/tex]
Нека <DAQ=α , [tex]\triangle ADQ \approx \triangle AOP[/tex] => <PAO=α
<DAO=<DAQ+<QAO=<QAO+<OAP=45
=> <APQ=180-45-45=90

[ivka64]

Благодаря много за 1-ва задача, вече ми се разясни как се решава. А някой дали ще може да ми помогне и с 2-рата задача.

[Xixibg]

Като вечерям ще ти я напиша и нея

[Xixibg]

а)Разглеждаме [tex]\triangle ABP[/tex] , [tex]P\in BC, => \angle BAP<\angle ABP[/tex]
От неравенства в триъгълника => [tex]AP>BP[/tex] => [tex]AP=11 , =>AP[/tex] e най-голямата страна в триъгълника.
Аналогично Разглеждаме [tex]\triangle ABQ[/tex] , [tex]Q\in AC, => \angle ABQ<\angle BAQ[/tex]
От неравенства в триъгълника => [tex]BQ>AQ[/tex] => [tex]BQ=11 , =>BQ[/tex] e най-голямата страна в триъгълника.
[tex]\triangle ABP[/tex] е еднакъв на [tex]\triangle ABQ[/tex] по 4ти признак.
[tex]=>AQ=BP , \angle ABQ=\angle BAP[/tex] => [tex]\triangle APQ[/tex] е еднакъв на [tex]\triangle BPQ[/tex] по 3ти признак
[tex]\angle APQ=\angle BQP=\alpha =>\angle POQ=180-2\alpha =\angle AOB[/tex]
[tex]=>\angle APQ=\angle BQP=\angle ABQ=\angle BAP => PQ||AB[/tex]
[tex]=>ABPQ[/tex] е трапец
б)Нека [tex]AP_i=BQ_j=9,5[/tex] => на страната [tex]BC[/tex] може да изберем 2 вътрешни точки [tex]P_1 ,P_2[/tex],на страната [tex]AC[/tex] може да изберем 2 вътрешни точки [tex]Q_1 ,Q_2[/tex] => не е задължително [tex]ABP_iQ_j[/tex] да е трапец.
т.е. фигурите [tex]ABP_1Q_1,ABP_2Q_2[/tex] са трапец ,а фигурите [tex]ABP_1Q_2 ,ABP_2Q_1[/tex] не са.([tex]P_1[/tex] е между [tex]B[/tex] и [tex]P_2[/tex] , [tex]P_2[/tex] е между [tex]C[/tex] и [tex]P_1[/tex] , [tex]Q_1[/tex] е между [tex]A[/tex] и [tex]Q_2[/tex] , [tex]Q_2[/tex] е между [tex]C[/tex] и [tex]Q_1[/tex])