Задачи

[smilesims]

1.да се докаже тъждеството (7a-3b+2c) (7a-3b-2c) = (3a- 7b)^2 при условие,че 10a^2=10b^2 + c^2
2.да се докаже тъждеството a^2- b^2 +ac- bc = a-b , ако a+b+c = 1
3.дадени са полиномите A= 4x^3 + 2x^2 + 4x и B = x^3 +2 +2x^4 + 4x^2 + x
а)да се разложат на прости множители полиномите А и В
б) да се разложи на множители полиномът С=А+В и след това да се намери числената стойност на С, ако х е корен на уравнението 2 | x-5 | - 4x = 9 - 7x
в) да се докаже, че за всяко х В > 0, а С>или=0
4.да се пресметне x^3 + y^3 ,ако x+y=a и x^2 + y^2 = b

[Xixibg]

1.[tex](7a-3b+2c).(7a-3b-2c)=(7a-3b)^2-(2c)^2=(7a-3b)^2-4.10(a^2-b^2)[/tex]
[tex]=49a^2-42ab+9b^2-40a^2+40b^2=9a^2-42ab+49b^2=(3a-7b)^2[/tex]
2.[tex]a^2-b^2+ac-bc=(a-b)(a+b)+c(a-b)=(a-b)(a+b+c)=a-b[/tex]
3.a)[tex]A=4x^3+2x^2+4x=2x(2x^2+x+2)[/tex]
[tex]B=x^3+2+2x^4+4x^2+x=x^3+x+2(x^4+2x^2+1)=x(x^2+1)+2(x^2+1)(x^2+1)[/tex]
[tex]B=(x^2+1)(2x^2+x+2)[/tex]
б)[tex]C=A+B=2x(2x^2+x+2)+(x^2+1)(2x^2+x+2)=(2x^2+x+2)(x^2+1+2x)[/tex]
[tex]C=(2x^2+x+2)(x+1)^2[/tex]
[tex]2|x-5|-4x=9-7x=> 2|x-5|=9-3x[/tex] ;ДС [tex]9-3x\ge 0 => x\le3[/tex]
[tex]=> 4(x-5)^2=(9-3x)^2 => 4x^2-40x+100=9x^2-54x+81[/tex]
[tex]=> 5x^2-14x-19=0[/tex]
[tex]x_1=3,8 ; x_2=-1 , x_1\notin DM => x=x_2=-1[/tex]
[tex]=> C=(2-1+2)(-1+1)^2=0[/tex]
в)[tex](x^2+1)>0 , (2x^2+x+2)>0 (D=-15<0), => B>0[/tex]
[tex](2x^2+x+2)>0 , (x+1)^2\ge 0 , => C\ge 0[/tex]
4.[tex]x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=b , =>xy=\frac{a^2-b}{2}[/tex]
[tex]x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=a(b-\frac{a^2-b}{2})=\frac{1}{2}a(3b-a^2)[/tex]