Да се построи ABC, върхът C, ортоцентърът H и средата на AB

[katal_latem]

Да се възстанови ▲ABC по дадени три точки: върхът C, ортоцентърът H и средата M на страната AB.

[ins-]

Вероятно можеш да използваш, че симетричната точка на H относно M лежи на описаната около ABC окръжност.

[katal_latem]

О, аз я реших, но все пак благодаря )

[inveidar]

Никой друг ли не може да я реши?

[katal_latem]

Ако искаш решението- мога да ти го напиша!

[ganka simeonova]

Никой друг ли не може да я реши?

може!

[ins-]

Задачата не е трудна. Просто трябва да се изпише. По-забавна задача е:
Да се възстанови триъгълник по дадени A, I, G (връх A, център на вписаната окръжност и медицентър).
Ако някой знае и други забавни построителни задачи може да ги каже.

[amsara]

Да се възстанови ▲ABC по дадени три точки: върхът C, ортоцентърът H и средата M на страната AB.

Оф, хич не знам как се изписват построителни задачи. И все пак ще споделя идеята си за тази.Не използвах предложената от инс симетрия.Малко ще е словесно, ама другояче не мога.
1.Построяваме права а,перпендикулярна на СН. На нея лежи дадената ни точка М, средата на отсечката АВ, която трябва да възстановим.
2.От М издигаме перпендикуляр, тоест това ни е симетралата,на която някъде лежи точка О-центърът на описаната окръжност около АВС.Къде е това някъде обаче?
3.Нека CH=x.Знаем(аз това лично го научих от госпожа Симеонова като нещо като ОЗ ), че във всеки триъгълник разстоянието от ортоцентъра до връх на триъгълника (в случая С) е два пъти по-голямо от разстоянието от центъра на описаната окръжност до срещулежащата на този връх страна (в случая АВ)=>OM=x/2.Вече имаме центъра на описаната окръжност.
4.R=OC.Построяваме окръжността с получения радиус R и център O.Пресечните й точки с правата а са другите два връха на триъгълника.

[ins-]

Ще скицирам и моята идея в случай, че ABC e остроъгълен.
Известно е че в триъгълник симетричните точки на ортоцентъра относно страна и средата на тази страна лежат на описаната около него окръжност.

1) Нека М' е симетрична на H относно M.
2) Ако построим перпендикуляр от М към правата CH ще получим X - петата на височината към AB.
3) H' - симетричната на H относно X. Тя лежи на описаната окръжност около ABC.
4) Вече знаем три точки от описаната окръжност (C, H', M') - k и можем да я възстановим (центъра ѝ е средата на CM', а радиуса и е половината от CM').
5) Пресечните точки на XM с k се явяват върховете A и B.

[ganka simeonova]

Да се възстанови ▲ABC по дадени три точки: върхът C, ортоцентърът H и средата M на страната AB.

Оф, хич не знам как се изписват построителни задачи. И все пак ще споделя идеята си за тази.Не използвах предложената от инс симетрия.Малко ще е словесно, ама другояче не мога.
1.Построяваме права а,перпендикулярна на СН. На нея лежи дадената ни точка М, средата на отсечката АВ, която трябва да възстановим.
2.От М издигаме перпендикуляр, тоест това ни е симетралата,на която някъде лежи точка О-центърът на описаната окръжност около АВС.Къде е това някъде обаче?
3.Нека CH=x.Знаем(аз това лично го научих от госпожа Симеонова като нещо като ОЗ ), че във всеки триъгълник разстоянието от ортоцентъра до връх на триъгълника (в случая С) е два пъти по-голямо от разстоянието от центъра на описаната окръжност до срещулежащата на този връх страна (в случая АВ)=>OM=x/2.Вече имаме центъра на описаната окръжност.
4.R=OC.Построяваме окръжността с получения радиус R и център O.Пресечните й точки с правата а са другите два връха на триъгълника.

Това е и моето решение.

[ganka simeonova]

Задачата не е трудна. Просто трябва да се изпише. По-забавна задача е:
Да се възстанови триъгълник по дадени A, I, G (връх A, център на вписаната окръжност и медицентър).
Ако някой знае и други забавни построителни задачи може да ги каже.

Има една хубава таблица, която дава интересен подход за систематизация на възстановяване на триъгълник по три точки. Известна е като "таблицата на Уерник". Там в полето за "A, I, G' е изписано "-" (тире), което означава, че не е известно решение.
Инс, ако знаеш такова, напиши го. Ще е интересно. Аз също нямам идея поне засега

[mkmarinov]

Можем ли да представим (векторно) центъра на вписаната окръжност чрез върховете?

[ganka simeonova]

Определено можем, но какъв е смисълът? Какво имаш предвид?

[ins-]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... +H#p920192

Специално за Ганка! Таблицата може да се обнови . Иначе не знаех, че съществува такава таблица
и се радвам, че научих за нея. Може ли някой да пусне линк към таблицата?

Задачата, която споменах е известна. Появявала се е на много места и е една от любимите ми построителни задачи.
Публикувана е също в сп. "Математика и информатика" 1996 или 1997 година в материал, разказващ за
румънски математически конкурс "Георге Цицейка", в който са взели участие и български ученици от Видин.
Като ученик се опитах да я реша чрез алгебричен метод за построение, като използвах само материал от задължителна подготовка за СОУ и почти успях, но сметките не са леки.

[ganka simeonova]

Благодаря, инс

[loving_math]

ins-, http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200909.pdf

[ins-]

Много благодаря за линка!