Правилно ли е решението ми?

[katal_latem]

Върховете на успоредника ABCD лежат в/у правите съдържащи страните на друг успоредник (MNPQ). Да се докаже, че двата успоредника имат общ център. Аз имам едно решение на задачата, но не съм сигурна, че е правилно- мисля, че задачата се решава със симетрия на MOQ или може и на тругите три триъгълника от успоредника (MNPQ). Правилно ли е решението ми?

[ptj]

Нека [tex]\vec{MN}=\vec{QP} =\vec{x}[/tex] и [tex]\vec{NP}=\vec{MQ} =\vec{y}[/tex].
Без загуба на общност ще считаме, че:
т.[tex]A\in MN[/tex], т.[tex]B\in NP[/tex], т.[tex]C\in PQ[/tex] и т.[tex]D\in QN[/tex].

Нека също:
[tex]\vec{MA}=a.\vec{MN}=a.\vec{x} ,[/tex]
[tex]\vec{NB}=b.\vec{NP}=b.\vec{y} ,[/tex]
[tex]\vec{PC}=c.\vec{PQ}=c.(-\vec{x}) ,[/tex]
[tex]\vec{QD}=d.\vec{QN}=d.(-\vec{y}) .[/tex]

Намираме:
[tex]\vec{AB}=\vec{AM}+\vec{MN}+\vec{NB}=-a.\vec{x}+\vec{x} +b.\vec{y}[/tex]
[tex]\vec{DC}=\vec{DQ}+\vec{QP}+\vec{PC}=d.\vec{y}+\vec{x} -c.\vec{x}=[/tex]

Тогава:
[tex]\vec{AB}=\vec{DC}[/tex] е равносилно на [tex]-a.\vec{x}+\vec{x} +b.\vec{y}=d.\vec{y}+\vec{x} -c.\vec{x}[/tex] или [tex](a-c)\vec{x}+(d-b)\vec{y}=\vec{0}[/tex] .

Последното е вярно само при [tex]a=c[/tex] и [tex]b=d[/tex].

Нека т.[tex]O[/tex] и т.G са пресечените точки на диагоналите съответно на [tex]ABCD[/tex] и [tex]MNPQ[/tex].

Използваме, че т.[tex]O[/tex] е среда на [tex]GB[/tex]:

[tex]2\vec{GO}=\vec{GD} +\vec{GB}=(\vec{GQ} +\vec{QD})+(\vec{GN} +\vec{NB} )=(\vec{GQ} +\vec{GN})+(\vec{QD} +\vec{NB} )=\vec{0} + (-d.\vec{y}+b.\vec{y} )=(b-d).\vec{y}=\vec{0}[/tex].

От последното следва, че т.[tex]G\equiv[/tex]т.[tex]O[/tex] .

П.П. Има и други начини.