Приложение на квадратните уравнения-задачи

[qpales]

Здравейте! Нуждая се от помощ за следните задачи:

1.Намерете двуцифрено число, ако броят на единиците му е с 2 по-голям от броя на десетиците и произведението на числото със сбора на цифрите му е 144.

2.Правоъгълна фотоснимка с размери 12см и 18см трябва да се постави на бял фон с еднаква широчина от всички страни. Определете широчината на фона,ако лицето му трябва да е равно на лицето на снимката.


Благодаря предварително!!!

[mail_dinko]

Значи ето как я решавам:
Двуцифреното число означаваме с ab
a - десетици
b - единици
"броят на единиците му е с 2 по-голям от броя на десетиците" - това показва, че b=a+2
Сега по-нататък по условието: "произведението на числото със сбора на цифрите му"
самото число има a на брой десетици и b на брой единици. от тук получаваме, че числото е 10a+b
сборът на цифрите е a+b
[tex]\begin{tabular}{|l}b=a+2\\(10a+b)(a+b)=144 \end{tabular}[/tex]
Първото уравнение от системата ни дава b. Решаваме със заместване във второто
(10а+а+2)(а+а+2)=144
(11а+2)(2а+2)=144
изнасяме 2 от вторите скоби
2(11а+2)(а+1)=144 |:2
(11а+2)(а+1)=72
[tex]11a^{2}+2a+11a+2=72[/tex]
[tex]11a^{2}+13a+2-72=0[/tex]
[tex]11a^{2}+13a-70=0[/tex]
D=13.13-4.11.(-70)=169+3080=3249=57.57
[tex]a_{1}=\frac{-13+57}{ 2.11}=\frac{44}{22 }=2[/tex] - следователно числото на десетиците е 2
[tex]a_{2}=\frac{-13-57}{2.11 }=-\frac{68}{22 } =-\frac{34}{11 } =-3\frac{1}{ 11}[/tex] - това не е решение, защото е по-малко от нула
От първото уравнение в системата получаваме b=a+2=2+2=4 цифра на единиците
Числото е 24

[mail_dinko]

Публикувам схема за втората задача - еднаквата ширина от всички страни означаваме с x
Площта на снимката съм я сметнал 216 кв. см.
С червено съм показал колко е площта на всеки участък от рамката.
По условие е дадено че площта на рамката е равна на площта на снимката, т.е. на 216 кв. см.
Площ на рамката - събираме площите на отделните бели части
[tex]x^{2}+18x+x^{2}+12x+x^{2}+18x+x^{2}+12x=4x^{2}+60x=216[/tex]
[tex]4x^{2}+60x-216=0|:4[/tex]
[tex]x^{2}+15x-54=0[/tex]
[tex]D=15.15-4.(-54)=225+216=441=21.21[/tex]
[tex]x_{1}=\frac{-15-21}{2 }=-18\notin DM[/tex]трябва да е положително число
[tex]x_{1}=\frac{-15+21}{2 }=3\in DM[/tex]
Отговор: Рамката е с ширина 3 см от всяка страна на снимката