Приложения на векторите

[Sara86]

Здравейте отново. Имам много голям проблем с векторите, а скоро ще правим контролно.. Знам теорията за тях, прилагам я в поп-прости задачки, но по-сложните (и понякога и по-простите) просто не мога д ги реша и разбера..
Последно вземахме "Някои приложения на векторите" и нямаме домашно, но почнах да решавам задачите от учебника и просто не става..
Ето две от задачите, които не можах да направя:
І [tex]\vec{c} = \frac{1}{3 } \vec{a} + \frac{2}{3 } \vec{b}[/tex]
[tex]\vec{c} = \frac{3}{4 } \vec{a} + \frac{1}{4 } \vec{b}[/tex]
Докажете, че [tex]\vec{a} = \vec{b} = \vec{c}[/tex]
ІІ Точките M и N са съответно средите на страните AD и BC на четириъгълника ABCD.
Докажете, че [tex]\vec{MN} = \frac{1}{2 } (\vec{AB} + \vec{DC})[/tex]
Ако може и малко обяснения (кое от къде идва), за да мога да ги разбера поне тези двете.. Понеже подобни ще ни дават на контролното
Благодаря предварително!

[ptj]

І [tex]\vec{c} = \frac{1}{3 } \vec{a} + \frac{2}{3 } \vec{b}[/tex]
[tex]\vec{c} = \frac{3}{4 } \vec{a} + \frac{1}{4 } \vec{b}[/tex]
Тази изобщо не е за вектори, а по-скоро обикновена система.

Приравняваш десните страни на първото и второто:
[tex]\frac{1}{3 } \vec{a} + \frac{2}{3 } \vec{b}=\frac{3}{4 } \vec{a} + \frac{1}{4 } \vec{b}[/tex]

[tex](\frac{1}{3 }-\frac{3}{4 })\vec{a}=(\frac{1}{4}- \frac{2}{3})\vec{b}[/tex]

[tex](\frac{4-9}{12 })\vec{a}= (\frac{3-8}{12 })\vec{b}[/tex]

[tex]\vec{a}=\vec{b}[/tex]

Сега заместваш последното в първото уравнение:
[tex]\vec{c} = \frac{1}{3 } \vec{a} + \frac{2}{3 } \vec{b}= \frac{1}{3 } \vec{a} + \frac{2}{3 } \vec{a}= \vec{a}[/tex]

[ptj]

Втората е традиционна.

[tex]\vec{MN} =\vec{MA}+\vec{AB}+ \vec{BN}[/tex]

[tex]\vec{MN} =\vec{MD}+\vec{DC}+ \vec{CN}[/tex]

Събираме почленно левите и десните страни:

[tex]2\vec{MN} =(\vec{MA}+\vec{AB}+ \vec{BN})+(\vec{MD}+\vec{DC}+ \vec{CN})[/tex]

[tex]2\vec{MN} =(\vec{MA}+\vec{MD})+\vec{AB}+\vec{DC}+ (\vec{BN}+\vec{CN})[/tex]


[tex]2\vec{MN} =\vec{0}+\vec{AB}+\vec{DC}+ \vec{0}[/tex]


[tex]\vec{MN} =\frac{1}{2 } (\vec{AB}+\vec{DC})[/tex]

П.П. Много често в задачи се използват различни изразявания за един и същ вектор по подобен начин, а после събират за да се унищожат участващите противоположни вектори.

П.ПП. Не знам дали могат да ви дадат една основна теорема :

Ако т.[tex]M[/tex] дели отсечката [tex]AB[/tex] в отношение [tex]p:q[/tex] , то за произволна т. [tex]O[/tex] е в сила : [tex]\vec{OM}=\frac{q}{p+q }\vec{OA}+\frac{p}{p+q }\vec{OB}[/tex].

Ако я има в учебника ви, разгледай внимателно доказателството и се опитай поне 2 пъти да го напишеш без да гледаш. По принцип идеята е същата като в горната задача. Но за да се унищожат след събирането частите с колинеарните вектори [tex]\vec{AM}[/tex] и [tex]\vec {BM}[/tex] , съответните изразявания се умножават на кръст пропроционално на дължините им. Схванеш ли веднъж този принцип, повече никога няма да имаш проблем с векторите.

[Sara86]

ptj много ти благодаря за бързия отговор! Първата задача я разбрах. Има още 1-2 в един сборник, които са подобни и ще ги решавам след малко. А за втората.. пак ще я огледам Няма я решена в учебника, но ще гледам от твоето решение После ще се пробвам да я напиша без да гледам
На нас са ни давали ето това:
точка М е среда на АВ, точка О е произволна => [tex]\vec{OM} = \frac{1}{2 } (\vec{OA} + \vec{OB} )[/tex]

[ptj]

То е частен случай на споменатото от мен.

Трябва да знаеш доказателството на всичко, което са ви давали.

Прави си чертежи обезателно и означавай на тях векторите

[ptj]

Ако сте учили вече за медицентър на триъгълник могат да ви дадат :

[tex]\vec{OG}=\frac{1}{ 3} (\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex]

[Sara86]

Ако сте учили вече за медицентър на триъгълник могат да ви дадат :

[tex]\vec{OG}=\frac{1}{ 3} (\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC})[/tex]

Още не сме вземали медицентър на ▲.. Но след седмица и нещо сигурно и това ще вземем

[ptj]

Друга, примерна :

В успоредник [tex]ABCD[/tex], [tex]\vec{AB}=\vec{a}[/tex] и [tex]\vec{BC}=\vec{b}[/tex].
[tex]AC\cap BD=[/tex]{т.[tex]O[/tex]},
т.[tex]N[/tex] е среда на [tex]AD[/tex];
т.[tex]M[/tex] дели [tex]AC[/tex] в отношение 2:1.
Изразете чрез базовите вектори:

а.) [tex]\vec{NC}[/tex]

б.)[tex]\vec{OM}[/tex]

в.)[tex]\vec{BM}[/tex]

г.)[tex]\vec{NM}[/tex]

П.П. [tex]\vec{BC}=\vec{a}+\vec{b},[/tex] [tex]\vec{DB}=\vec{a}-\vec{b}...[/tex]
Ако имаш време опитай да я решиш и ми напиши подробно всичко, което намираш, за да те коригирам или помогна да я довършиш.