Медицентър

[qpales]

Здравейте,
Нуждая се от помощ за следната задача:
Докажете,че медианите на триъгълника го разделят на шест равнолицеви триъгълника.



Благодаря Ви предварително!!!

[ptj]

Спусни височините от върховете и от медицентъра и докажи, всяка от първите има точно 3-пъти по-къса сред вторите (подобни триъгълници). За всеки от малките триъгълници лицето ще е половината от произведението на малка височина (1/3 от съответна в големия триъгълник) по половина от страна в големия триъгълник.

[amsara]

С една подробност обаче - подобие в 8 клас не се учи.

[amsara]

Става супер лесно с изваждане на лица. Ако по-късно имам време, ще пусна решението.

[Xixibg]

Учи се подобие ама 2-рия срок.
Иначе това е основна задача и не е нужно подобие.Решава се елементарно.

[amsara]

Да, елементарно се решава, с материал от 7 клас даже.
Колкото до подобието, със сигурност не се учи в 8 клас, ни първия, ни втория срок. Все пак миналата година бях 8-ми, а не съм проспала часовете. Учи cе в девети.

[Xixibg]

Може не знам.
Ето и решението:

[tex]A_1,B_1,C_1[/tex] петите на медианите на [tex]\triangle ABC[/tex],а [tex]G[/tex] е медицентър.
[tex]S_{ACC_1}=S_{BCC_1}=\frac{1}{2}S_{ABC}[/tex](Обща височина и равни основи [tex]AC_1=BC_1=\frac{1}{2}AB[/tex]
[tex]\frac{CG}{GC_1}=\frac{2}{1} ; =>S_{CGA}=\frac{2}{3}S_{ACC_1}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{3}S_{ABC}[/tex]
[tex]S_{C_1GA}=\frac{1}{3}S_{ACC_1}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}S_{ABC}=\frac{1}{6}S_{ABC}[/tex]
[tex]S_{CGB_1}=S_{AGB_1}=\frac{1}{2}S_{CGA}=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}S_{ABC}=\frac{1}{6}S_{ABC}[/tex]
Аналогично за [tex]\triangle BCC_1 ; S_{CA_1G}=S_{BA_1G}=S_{BC_1G}=\frac{1}{6}S_{ABC}[/tex]
[tex]=>S_{CA_1G}=S_{BA_1G}=S_{BC_1G}=S_{CGB_1}=S_{AGB_1}=S_{C_1GA}=\frac{1}{6}S_{ABC}[/tex]

[ptj]

С една подробност обаче - подобие в 8 клас не се учи.

Исканите отношения може да ги докажете и с вектори.

Има и друг лесен вариант:

Съседните по една и съща страна малки триъгълници (1/6 от големия) очевидно са с еднакви лица (равни половинки страни от големия и обща височина). Тогава вътре в големия ще има 2 с лице[tex]x[/tex], 2 с лица [tex]y[/tex] и 2 с лица [tex]y[/tex]. Ако разгледаме триъгълниците с лице половината от големия (с участие на една медиана), от равенствата на техните лица може да изведем система:
[tex]x+2y=x+2z[/tex]
[tex]y+2x=y+2z[/tex]
[tex]z+2x=z+2y[/tex] (може и без едно уравнение)

Нейно решение е само [tex]x=y=z[/tex].

П.П. Това решение е достъпно и за 7-ми клас.