Медицентър на триъгълник

[monnie]

1) В АВС с медицентър М продължете медианата СС1 до точка N така че C1N = C1M .Докажете че:
а) страните на AMN са равни на 2/3 от медианите на АВС
б) станите на AMN са равни на 1/2 от страните на АВС
в) лицето на AMN е три пъти по-малко от лицето на ABC

2) Докажете че,ако две от медианите в триъгълник са равни то той е равнобедрен.
Упътване: Ако М е медицентърът на АВС и АА1 И ВВ1 са равни медиани,докажете че АВМ е равнобедрем
Много ви благодаря предварително...

[ptj]

2-ра може да сведе до трапец с равни диагонали (посредством допълнително построение с 2 успоредника) и да се докаже, че е равнобедрен (2 еднакви триъгълника по 1-ви признак).

[Xixibg]

Кому е нужно това усложнение след като с упътването се доказва елементарно.
[tex]2.\frac{AM}{MA_1}=\frac{2}{1} ; =>AM=\frac{2}{3}AA_1[/tex] Медицентъра дели медианата в отношение 2:1
[tex]\frac{BM}{MB_1}=\frac{2}{1} ; =>BM=\frac{2}{3}BB_1[/tex] Медицентъра дели медианата в отношение 2:1
[tex]AA_1=BB_1[/tex] по условие [tex]\triangle ABM[/tex] е равнобедрен
[tex]\angle ABM=\angle BAM[/tex]
[tex]\triangle ABB_1 , \triangle ABA_1[/tex] са еднакви по първи признак
[tex]1.\angle ABM=\angle BAM[/tex] по доказателство
[tex]2.AB[/tex] - обща
[tex]3.AA_1=BB_1[/tex] по условие
[tex]=>\angle ABB_1=\angle BAA_1[/tex]
[tex]=>\triangle ABC[/tex] е равнобедрен

[ptj]

С въпросното усложнение задачата се решава и от 7-мо класници и не се използва изобщо Теоремата за медицентър.

[Xixibg]

Само дето трябва да докажеш, че [tex]ABA_1B_1[/tex] е трапец

[ptj]

Само дето трябва да докажеш, че [tex]ABA_1B_1[/tex] е трапец

Не ставаше въпрос изобщо за точките [tex]A_1[/tex] и[tex]B_1[/tex], макар че и [tex]ABA_1B_1[/tex] e трапец (средна отсечка). Но даже и с него задачата се решава по същия начин - от равенство на диагоналите се доказва, че е равнобедрен (бедрата му са половинки от страни в триъгълника).

[Xixibg]

Само дето средните отсечки се учат след формулата за медиана в 8-ми клас.

[ptj]

Аз не съм виновен, че промениха драстично всички учебни програми. Преди се учеха в 7-ми клас след вектори.

В първоначално споменатия от мен вариант няма средни отсечки.