Задача за вектори ;[[

[mishchica]

Има една задача за вектори , която ме затруднява . Моля да ми помогнете . Ето я :
Точките M и N са средите на страните BC и CD на успоредника ABCD,а точката P е такава, че AMPN е успоредник. Докажете, че точките A,P,C лежат на една права.
По моя чертеж излиза, че не са на една права.

[nikko]

Три точки (A, P, C) лежат на една права, тогава и само тогава когато има връзка между два от векторите определени от трите точки, т.е. ако имаме [tex]\vec{AP}=c\vec{AC}[/tex] за някое число c.

AMPN е успоредник и по правилото на успоредника
[tex]\vec{AP}=\vec{AM}+\vec{AN}=\vec{AC}+\vec{CM}+\vec{AC}+\vec{CN}=2\vec{AC}+\vec{CM}+\vec{CN}=2\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{CB}+\frac{1}{2}\vec{CD}[/tex]
[tex]=2\vec{AC}+\frac{1}{2}(\vec{CB}+\vec{CD})=2\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{CA}=2\vec{AC}-\frac{1}{2}\vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AC}.[/tex] Следователно векторите AP и AC са успоредни, но A е обща. Тогава трите точки лежат на една права.

[mishchica]

MERSIII MNOGO !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[mishchica]

Но защо [tex]1/2 (CB+CD) = 1/2 CA[/tex]
???

[nikko]

Пак по правилото на успоредника, CB и CD са страните на успоредника, а CA e диагоналът.