Задача-трапец

[qpales]

Здравейте,
Нуждая се от помощ за следната задача:

Даден е трапец ABCD(AB успоредна на CD). Точката М дели бедрото АD в отношение 1:2, считано от А. Правата през М, успоредна на АВ, пресича диагоналите АС и ВD в точки P и Q. Намерете PQ ако АВ=а и СD=b(a>b)


Благодаря предварително!

[ptj]

Нека [tex]MN\parallel AB[/tex] и т.[tex]N\in BC[/tex].

[tex]\vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN}[/tex]

[tex]\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}[/tex]

Умножаваме второто по 2 и събираме с първото почленно ( за да се унищожат векторите по бедрата на трапеца):
[tex]3\vec{MN}=(\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN})+2(\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN})=[/tex]

[tex]=(\vec{MD}+2\vec{MA})+(\vec{DC}+2\vec{AB})+(\vec{CN}+2\vec{BN})=\vec{0}+(2\vec{DC}+\vec{AB})+\vec{0}=\vec{DC}+2\vec{AB}[/tex]

Тъй като [tex]DC \parallel AB[/tex] то [tex]MN=|\vec{MN}|=\frac{1}{3 }|\vec{DC}|+\frac{2}{3 }|\vec{AB}|=\frac{b}{3 } +\frac{2a}{3 }[/tex]


Нека [tex]k.\vec{MP}=\vec{DC}[/tex].

Ще намерим стойностите на [tex]k[/tex]:

[tex]k(\vec{MA}+\vec{AP})=k.\vec{MP}=\vec{DC}=\vec{DA}+\vec{DC}[/tex]

Използваме само най-лявата и най-дясната част на горното равенство:

[tex]k(\vec{MA}+\vec{AP})=\vec{DA}+\vec{DC}[/tex]

[tex]k.\vec{MA}-\vec{DA}=\vec{DC}-k.\vec{AP}[/tex]

Векторите, участаващи съответно в лявата и дясната част на последното равенство, лежат върху две различни прави. Затова равенство е възможно само когато резултата е нулев вектор.
T.е.[tex]k.\vec{MA}-\vec{DA}=\vec{DC}-k.\vec{AP}=\vec{0}[/tex]

[tex]k.\vec{AM}=\vec{DA}[/tex]

Знаем, че [tex]3 \vec{AM}=\vec{AD}[/tex], сл. [tex]k=3[/tex].

[tex]\vec{MA}=\frac{1}{k } \vec{DC}=\frac{1}{3 } \vec{DC}[/tex] => [tex]MA=\frac{1}{ 3} b[/tex]

Аналогично [tex]NQ=\frac{1}{ 3} b[/tex]

[tex]PQ=MN-MP-QN=(\frac{b}{ 3} +\frac{2a}{3 } )-\frac{b}{3 } -\frac{b}{3 } =\frac{2a}{ 3} -\frac{b}{3 }[/tex]

П.П. Ако знаехте подобия, задачата става с 3 реда.

[Xixibg]

Ето едно решение със средни отсечки....

Нека правата през [tex]M[/tex] успоредна на [tex]AB[/tex] пресича бедрото [tex]BC[/tex] в точка [tex]N[/tex]
Построяваме [tex]M_1\in AD ; N_1\in BC[/tex]и такава ,че [tex]M_1,N_1[/tex] са среди на [tex]MD,NC[/tex]
[tex]M_1N_1\cap AC=P_1; M_1N_1\cap BD=Q_1[/tex]
[tex]M_1P_1[/tex] е средна отсечка в трапеца [tex]MPCD ; =>M_1P_1=\frac{MP+CD}{2} (1)[/tex]
[tex]MP[/tex] е средна отсечка в[tex]\triangle AP_1M_1 ; => MP=\frac{1}{2}M_1P_1 (2)[/tex]
[tex](1),(2) ;=> MP=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}b[/tex]
[tex]N_1Q_1[/tex] е средна отсечка в трапеца [tex]NQCD ; =>N_1Q_1=\frac{NQ+CD}{2} (3)[/tex]
[tex]NQ[/tex] е средна отсечка в[tex]\triangle BQ_1N_1 ; => NQ=\frac{1}{2}N_1Q_1 (4)[/tex]
[tex](3),(4) ;=> NQ=\frac{1}{3}CD=\frac{1}{3}b[/tex]
[tex]M_1N_1[/tex] е средна отсечка в трапеца [tex]MNCD ; =>M_1N_1=\frac{MN+CD}{2} (5)[/tex]
[tex]MN[/tex] е средна отсечка в трапеца [tex]M_1N_1BA ; =>MN=\frac{M_1N_1+AB}{2} (6)[/tex]
[tex](5)(6) ; =>2MN-AB=\frac{MN+CD}{2} ; =>3MN=2AB+CD ; => MN=\frac{2a+b}{3}[/tex]
[tex]PQ=MN-MP-NQ=\frac{2a+b}{3}-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}b=\frac{2a-b}{3}[/tex]