Забавна задача с медицентрове

[zadachko]

Моля за помощ
Точката C1 е среда на страната AB на триъгълника ABC. Върху страните AC и BC са взети съответно точки B1 и A1 така, че триъгълниците ABC и A1B1C1 имат общ медицентър. Докажете, че точките B1 и A1 са средите на съответните страни на триъгълника.

[0xdeadbeef]

Ясно е, че точката [tex]X[/tex] е от медианата [tex]CC_1[/tex] и същото така, че [tex]X[/tex] е среда на [tex]A_1 B_1[/tex].

Озн. [tex]C C_1 = x[/tex]. От св. на медицентъра на [tex]\triangle ABC[/tex], имаме:

[tex]\small(1)[/tex] [tex]MC_1 = \frac{1}{3}x[/tex]

Озн. [tex]C_1 X = y[/tex]. От св. на медицентъра на [tex]\triangle A_1 B_1 C_1[/tex], имаме:

[tex]\small(2)[/tex] [tex]C_1 M = \frac{2}{3}y[/tex]

От [tex]\small(1)[/tex] и [tex]\small(2)[/tex], получваме, че [tex]x = 2y[/tex] или т.[tex]X[/tex] е среда на [tex]CC_1[/tex].

Значи [tex]B_1 C_1 A_1 C[/tex] - успоредник.

По условие имаме, че [tex]C_1[/tex] - среда на [tex]AB[/tex], значи [tex]C_1 B_1[/tex] - средна отсечка или [tex]B_1[/tex] - среда на [tex]AC[/tex].

Аналогично се разсъждава, за [tex]A_1[/tex].

[zadachko]

Огромни благодарности