Задача, решаваща се с свойства на ортоцентър

[Smile..]

В остроъгълен АВС с височини АА1, ВВ1 и СС1, A1B1 и CC1 се пресичат в точка N. През нея е построена права успоредна на АС, която пресича АА1 и АВ съответно в точките М и Р. Да се докаже, че МР = МN.

[0xdeadbeef]

Ще докажем ,че [tex]MC_{1}=MN[/tex] ,което е еквивалентно на исканото.

[tex]\angle ACH=\angle B_{1}CH=\angle B_{1}A_{1}H=\angle MNH=\angle MA_{1}C_{1}[/tex]

Оттук се вижда , че [tex]M,N,A_1[/tex] и [tex]C_1[/tex] лежат на една окръжност ,a [tex]A_1M[/tex] разполовява дъгата [tex]NC_1[/tex],тоест [tex]MN=MC_1=MP[/tex].

[Smile..]

От къде следва равенството на ъглите?

[Xixibg]

Нека [tex]\angle BAC=\alpha ; =>\angle ACC_1=\angle ABB_1=90^\circ -\alpha[/tex]
Нека [tex]\angle ACB=\gamma ; =>\angle CAA_1=\angle NMA_1=90^\circ -\gamma[/tex] (като съответни ъгли)
Около [tex]ABA_1B_1[/tex] може да се опише окръжност [tex]=>\angle AA_1B_1=\angle ABB_1=90^\circ -\alpha[/tex](отговарят на една и съща дъга)
Около [tex]ACA_1C_1[/tex] може да се опише окръжност [tex]=>\angle AA_1C_1=\angle ACB_1=90^\circ -\alpha ; \angle CAA_1=\angle CC_1A_1=90^\circ -\gamma[/tex](отговарят на една и съща дъга)
[tex]\angle NC_1A_1=\angle NMA_1=90^\circ -\gamma[/tex]
[tex]=>[/tex]Около [tex]MNA_1C_1[/tex] може да се опише окръжност
[tex]\angle MA_1C_1=\angle NA_1M=90^\circ -\alpha ; =>MN=MC_1[/tex] (Хорди на равни дъги)
[tex]\triangle PC_1N[/tex] е правоъгълен [tex]=>MP=MN[/tex]