Централна симетрия задача

[zdraveitiii]

Условие:
Даден е триъгълник ABC с периметър 2p и точка M. Точките A' B' C' са симетрични на М относно средите на страните на ABC. Намерете периметъра на триъгълника A' B' C'.

Извод:
Чертежа го направиx, отговора го знам 2p е. Определих, че триъгълниците ABC и A'B'C' са еднакви. Госпожата подсказа, че се решава с средните отсечки на тригълниците.Трябва ми доказателството , че триъгълниците ABC и A'B'C' са еднакви.

[ptj]

Грешиш.
Ако средите на страните са [tex]A_1, B_1, C_1[/tex] , то [tex]\Delta A'B'C'[/tex] e симетричен на [tex]\Delta A_1B_1C_1[/tex] относно т.[tex]M[/tex].
Знаем, че централната симетрия е еднаквост и запазва разстоянията между точките,
тогава [tex]\Delta A'B'C'[/tex] и [tex]\Delta A_1B_1C_1[/tex] са еднакви по III-ти признак.
[tex]P_{\Delta A_1B_1C_1}=\frac{1}{2 }P_{\Delta ABC}[/tex] (средни отсечки).


Отговора ти е [tex]P_{\Delta A'B'C'}=p[/tex].