Медицентър на триъгълник

[kl0tch3r]

1. Докажете, че медианите на триъгълника го разделят на 6 равнолицеви триъгълника
2. Даден е успоредник ABCD. Точка М е средата на страните BC, a P e пресечната точка на Am c BD. Лицето на троъгълника BPM е 1 кв.см. Намерете лицето на успоредника ABCD

[nikko]

M - медицентър. Да означим лицата на шестте стриъгълника с [tex]a, b, c, d, e, f[/tex] (на чертежа)
Понеже имаме среди на страните A1 на CB, B1 на AC, C1 на AB, височините към страните AB, AC, BC са съотвено височини за двойките триъгълниците [tex]AC_1C, BC_1C; ABB_1, CBB_1; AA_1C, AA_1B[/tex] имаме следните равенства между лицата
[tex]S_{AC_1C}=S_{BC_1C}\Rightarrow a+c+d=b+e+f (1)[/tex]
[tex]S_{ABB_1}=S_{CBB_1}\Rightarrow a+b+c=d+e+f (2)[/tex]
[tex]S_{AA_1C}=S_{AA_1B}\Rightarrow a+b+e=c+d+f (3)[/tex]
От (1)-(2)+(3) следва рав. [tex]a+d+e=c+b+f (4)[/tex]
От (1)-(4) следва [tex]c-e=e-c \Rightarrow c=e[/tex]
От (3)-(4) следва [tex]b-d=d-b \Rightarrow d=b[/tex]
От (1)+(2) следва [tex]2a+b+2c+d=2e+2f+b+d\Rightarrow a=f[/tex]
От друга страна двойките триъгълници [tex]AMB_1, CMB_1;CMA_1,BMA_1; BMC_1, AMC_1[/tex] са равнолицеви (имат равни (за съответната двойка) височини и съответни равни страни [tex]AB_1=B_1C, CA_1=A_1B, AC_1=C_1B[/tex]). Следователно [tex]a=c, b=e, d=f[/tex] и окончателно [tex]a=b=c=d=e=f[/tex]

[kerry]

Втората задача е по-интересна. Някой няма ли да пробва?

[0xdeadbeef]

Построяваме права [tex]l[/tex] през т. [tex]C[/tex], като [tex]l || AM; l \cap BD = E ; l \cap AD = F[/tex].

[tex]PM[/tex] - средна отсечка в [tex]\triangle BEC[/tex];

[tex]S_{\triangle BEC} = 4cm^2[/tex];

[tex]S_{\triangle PEC} = S_{\triangle DEC} = \frac{1}{2} S_{\triangle BEC} = 2cm^2[/tex];

[tex]S_{ABCD} = 2(S_{\triangle DEC} + S_{\triangle BEC}) = 12cm^2[/tex];