графика на функцията y=|ax+b|

[Sara86]

Много ще се радвам ако някой ми обясни подробно как се решават този тип задачи:y= |x| - |3x+2|
Задачата я имаме за домашно - аз я реших като гледах какво сме писали в час, но не ми изглежда много вярна, а и не я разбрах.. Благодаря предварително на отзовалия се
П.С. Чертежа ще си го направя сама след като видя как се получава задачата

[0xdeadbeef]

За функцията [tex]y = |u|[/tex], знаем, че [tex]y = u[/tex], при [tex]u \ge 0[/tex] и [tex]y = - u[/tex], при [tex]u < 0[/tex].

Да положим [tex]u = ax + b[/tex], като за определеност нека [tex]a > 0[/tex] и [tex]b > 0[/tex].

Сега имаме [tex]y = |ax + b|[/tex], както по-горе казахме[tex]y = ax + b[/tex], при [tex]ax + b \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{b}{a}[/tex]

[tex]y = -ax - b[/tex], при [tex]ax + b < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{b}{a}[/tex].

Графиката на [tex]y=|ax + b|[/tex](както вече сигурно стана ясно), ще изглежда така.

abs(ax+b).png (9.01 KiB) Прегледано 1199 пъти

тоест от [tex]-\infty[/tex] до [tex]-\frac{b}{a}[/tex] имаме графиката на функцията [tex]y = ax + b[/tex], а от
[tex]-\frac{b}{a}[/tex] до [tex]+\infty[/tex] имаме графиката на функцията [tex]y = -ax -b[/tex].

Да решим поставената задача.

Задача: Да се начертае графиката на функцията [tex]y = |x| - |3x + 2|[/tex].

Полагаме [tex]u = ax + b[/tex], [tex]v = cx + d[/tex], като в нашия случай [tex]a=1,b=0,c=3[/tex] и [tex]d=2[/tex].

[tex]\small(1)[/tex] [tex]u \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{b}{a} = 0[/tex]

[tex]\small(1')[/tex] [tex]u < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{b}{a} = 0[/tex]

[tex]\small(2)[/tex] [tex]v \ge 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{d}{c} = -\frac{2}{3}[/tex]

[tex]\small(2')[/tex] [tex]v < 0 \Leftrightarrow x < -\frac{d}{c} = -\frac{2}{3}[/tex]

Имаме [tex]y = |u| - |v| = |x| - |3x + 2|[/tex].

Кoгато [tex]x \in (-\infty, -\frac{2}{3})[/tex] ситуацията е следната : [tex]\small(1')[/tex] е вярно [tex]\Rightarrow u < 0 \Rightarrow |u| = -u = -x[/tex].

[tex]\small(2')[/tex] е вярно [tex]\Rightarrow v < 0 \Rightarrow |v| = -v = -3x - 2[/tex]. Значи в този сличай [tex]y = |u| - |v| = -u - (-v)= \fbox{2x + 2}[/tex]

Когато [tex]x \in [-\frac{2}{3}, 0)[/tex], ситуацията е следната: [tex]\small(1')[/tex] е вярно [tex]\Rightarrow u < 0 \Rightarrow |u| = -u = -x[/tex]

[tex]\small(2)[/tex] е вярно [tex]\Rightarrow v \ge 0 \Leftrightarrow |v| = v = 3x + 2[/tex]. Значи в този случай [tex]y = |u| - |v| = -u - (+v) = \fbox{-4x -2}[/tex]

В последния случай, когато [tex]x \in [0, +\infty)[/tex] имаме : [tex]\small(1)[/tex] е вярно [tex]\Rightarrow u \ge 0 \Rightarrow |u| = u = x[/tex]

[tex]\small(2)[/tex] е вярно [tex]\Rightarrow v > 0 \Rightarrow |v| = v = 3x + 2[/tex]. Значи в този случай [tex]y = |u| - |v| = \fbox{-2x - 2}[/tex]

Да резюмираме :

• при [tex]x \in (-\infty, -\frac{2}{3})[/tex] функцията има вида [tex]y = 2x + 2[/tex]
• при [tex]x \in [-\frac{2}{3}, 0)[/tex] функцията има вида [tex]y = -4x - 2[/tex]
• при [tex]x \in [0, +\infty)[/tex] функцията има вида [tex]y = -2x - 2[/tex]

abs(x) - abs(3x+2).png (17.24 KiB) Прегледано 1199 пъти

[Xixibg]

[tex]f(x)=
\left{
\begin{array}{ll}
2x-2, & x<-\frac{2}{3} \\
-4x-2, & x\in [ -\frac{2}{3}; 0) \\
-2x-2, & x\ge0 \end{array}
\right.[/tex]

[tex]x<-\frac{2}{3} ; =>|x|=-x ; |3x+2|=-(3x+2) ; =>y=2x+2[/tex]
[tex]x\in [ -\frac{2}{3}; 0) ; =>|x|=-x ; |3x+2|=3x+2 ; =>y=-4x-2[/tex]
[tex]x\ge0 ; =>x|=x ; |3x+2|=3x+2 ;=> y=-2x-2[/tex]

[Sara86]

Много ви благодаря! Мисля, че горе-долу разбрах как се решават