Намерете основите на трапеца по ъгли и средна основа

[kl0tch3r]

1зад. В трапеца [tex]ABCD[/tex]ъгъл [tex]DAB=90^\circ[/tex] , [tex]ABC=BCA=60^\circ[/tex] , средната основа е 3 см. Намерете основите на трапеца

2зад. В трапеца ABCD ъгъл [tex]DAB=90^\circ[/tex], [tex]ABC=60^\circ[/tex] , а диагонала AC разполовява ъгъл BCD. Докажете, че ако М е средата на ВС, то триъгълник АМD е равностранен.

[Xixibg]

[tex]1.\triangle ABC[/tex] е равностранен [tex]=>\angle BAC=60^\circ ;AB=AC=BC[/tex]
[tex]\angle DAC=90^\circ -\angle BAC=90^\circ -60^\circ =30^\circ[/tex]
[tex]\triangle ACD[/tex] е правоъгълен [tex]=>CD=\frac{1}{2}AC[/tex] Нека [tex]MN[/tex] е средната основа
[tex]=>MN=\frac{1}{2}(AB+CD)=3 ; =>AB+\frac{1}{2}AB=6 ; =>AB=4sm. ; =>CD=2sm.[/tex]

[Xixibg]

[tex]\angle BCD=180^\circ -\angle ABC=180^\circ -60^\circ =120^\circ ; =>\angle BCA=\angle ACD=\frac{1}{2}.120^\circ =60^\circ[/tex]
[tex]=>\triangle ABC[/tex] е равностранен [tex]=>\angle BAC=60^\circ ;AB=AC=BC[/tex]
[tex]\angle DAC=90^\circ -\angle BAC=90^\circ -60^\circ =30^\circ[/tex]
[tex]\triangle ACD[/tex] е правоъгълен [tex]=>CD=\frac{1}{2}AC[/tex]
[tex]M\in BC ; BM=CM=\frac{1}{2}AC ; =>CD=CM ; =>\triangle MCD[/tex] е равнобедрен
[tex]=>\angle CMD=\angle DMC=\frac{1}{2}(180^\circ -\angle MCD)=\frac{1}{2}(180^\circ -120^\circ )=30^\circ[/tex]
[tex]=>\angle ADM=90^\circ -\angle CMD=90^\circ -30^\circ =60^\circ[/tex]
[tex]\triangle AMC ,\triangle ACD[/tex] са еднакви по 2-ри признак ([tex]1.\angle BCA=\angle ACD ; 2.\angle CMA=\angle ADC=90^\circ ; 3.AC[/tex]-обща)
[tex]=>AM=AD[/tex] като съответни елементи в еднакви триъгълници
[tex]=>\triangle AMD[/tex] е равностранен (равнобедрен с [tex]\angle 60^\circ[/tex])