геометрична задача

[jivko7]

Даден е петоъгълник ABCDE. Точките M, N, P, Q, L, K и F са среди съответно на отсечките, BC, CD, DE, AB, QB, MP и NL. Да се намери дължината на отсечката KF, ако BL = 2a и ъгъл AEB = 90 градуса.

Моля помогнете, нищо не мога да намеря освем AB.

[hristo95]

Това да не би да е задача 2-ра от Олимпиадата по математика през 2009?

[jivko7]

да

[hristo95]

Всъщност, можеш да намериш и EQ=4a
KF=1/2(PL-MN)

[jivko7]

Всъщност, можеш да намериш и EQ=4a
KF=1/2(PL-MN)

да но как да намеря PL и MN

[jivko7]

Ето го отговора на задачата. AB = 8a, EQ = 4a защото е медияна в правоъгален триъгълник. Построяваме височина QG като точка G принадлежи на страната BE. В правоъгълния триъгълник QBG медианата GL = 2a. След това в триъгълник GLN точка F е среда на LN и трябва да докажем че точка K е среда на GN от което ще следва че KF = 1/2GL, защото KF ще е средна отсечка в триъгълника, която е полувината от основата. Доказателството за точка K, че е среда на GN, става чрез вектори. Оттук нататък с много писане на вектори се доказва че K е среда на GN от където следва че KF = 1/2GL = a.