равнобедрен триъгълник с вписана окръжност

[smilesims]

Даден е равнобедрен триъгълник ABC (AC=BC) [tex]\angle ACB[/tex][tex]= 40^\circ[/tex]. Точка O е среда на BC. Окръжността с център O и радиус OB пресича AB в точка M и AC - в точка N.
а)Докажете,че CM и BN са височини в триъгълника ABC .
б) Намерете [tex]\angle CON[/tex] , [tex]\angle MON[/tex] , [tex]\angle MOB[/tex] , [tex]\angle CBN[/tex]

[Xixibg]

[tex]O[/tex] е среда на [tex]BC ; =>OB=OC=R[/tex]
[tex]=>BC[/tex] е диаметър на дадената октъжност
а)[tex]\angle BMC=\angle BNC=\frac{1}{2}{\stackrel{\frown}{BC}=\frac{1}{2}.180^\circ =90^\circ[/tex]
б)[tex]OC=ON=R ; =>\triangle OCN[/tex] е равнобедрен [tex]=>\angle CNO=\angle NCO=40^\circ[/tex]
[tex]=>\angle CON=180^\circ -(\angle CNO+\angle NCO)=180^\circ -80^\circ =100^\circ[/tex]
[tex]OB=OM=R ; =>\triangle OBM[/tex] е равнобедрен [tex]=>\angle BMO=\angle MBO=\frac{180^\circ -40^\circ}{2}=70^\circ[/tex]
[tex]=>\angle MOB=180^\circ -(\angle BMO+\angle MBO)=180^\circ -140^\circ =40^\circ[/tex]
[tex]\angle MOB+\angle CON+\angle MON=180^\circ ; =>\angle MON=180^\circ -100^\circ -40^\circ =40^\circ[/tex]
[tex]\angle CBN=\frac{1}{2}{\stackrel{\frown}{CN}=\frac{1}{2}.\angle CON=50^\circ[/tex]