Гадна задача

[Гост]

Диагоналите АС и БД се пресичат в точка О на равнобедрения трапец АБСД. Да се докаже, че ако АБ е по-голямата му основа и ъгъл АОБ = 60°, то средите на отсечките АО, ДО и БС са върхове на равностранен триъгълник!!!

[Xixibg]

[tex]\triangle AOB,\triangle COD[/tex] са равностранни [tex]AB=AO=BO=a ; CD=CO=DO=b[/tex]
[tex]\angle AOB=\angle COD=60^\circ ; =>\angle AOD=\angle BOC=120^\circ[/tex]
Върху продължението на лъчите [tex]CA , BD[/tex] избираме точки [tex]M,N[/tex] така че [tex]AM=a,DN=b[/tex]
[tex]\angle MAB=\angle CDN=120^\circ[/tex](Като съседни на [tex]\angle OAB=\angle ODC=60^\circ[/tex])
[tex]\triangle ABM,\triangle CDN,\triangle AOD[/tex] по 1-ви признак
[tex]1.AB=DN=AO=a[/tex]
[tex]2.AM=CD=DO=b[/tex]
[tex]3.\angle MAB=\angle CDN=\angle AOD=120^\circ[/tex]
[tex]=>MB=NC=AD[/tex] като СЕЕТ
Нека [tex]P,Q,T[/tex] са съответно средите на [tex]AO,BC,DO[/tex]
[tex]=>PQ[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle MBC ; =>PQ=\frac{1}{2}MB[/tex]
[tex]=>QT[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle NBC ; =>QT=\frac{1}{2}NC[/tex]
[tex]=>PT[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle AOD ; =>PT=\frac{1}{2}AD[/tex]
[tex]=>PQ=QT=PT ; =>\triangle PQT[/tex] е равностранен