Успоредник, трапец и произволен четириъгълник

[Sis0k0]

Има няколко задачи в домашното ми за лятото по математика, които не мога да реша, макар че не би трябвало да се използва нещо друго освен Питагорова, синусова и косинусова теореми и основните познания за четириъгълниците. Помогнете, моля ви!

1. Отношението на периметъра на ромб към сумата от дължините на диагоналите му е равно на k. Намерете ъглите на ромба.

2. Основите на трапец имат дължини a и b, а бедрата му - c и d. Намерете дължините на диагоналите.

3. В трапеца ABCD (AB||CD) е вписана окръжност с център О, а MN е средната отсечка на трапеца (M [tex]\in[/tex] AD, N [tex]\in[/tex] BC). Да се докаже, че MO:NO = sin[tex]\beta[/tex]:sin[tex]\alpha[/tex], където [tex]\alpha[/tex] = [tex]\angle[/tex]BAD, [tex]\beta[/tex] = [tex]\angle[/tex]ABC.

4. В равнобедрения трапец ABCD малката основа DC = 6, а [tex]\angle[/tex]ACD = [tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]DAC = [tex]\beta[/tex]. Да се намерят дължините на голямата основа, бедрото и диагоналите на трапеца.

5. В трапеца ABCD (AB || CD, AB > CD) точките K и M са среди съответно на AB и CD, DK е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]ADC, а BM е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]ABC. Намерете страните на трапеца, ако периметърът му е 30 cm, а по-големият ъгъл при по-голямата основа е 60[tex]^\circ[/tex].

6. Даден е равнобедрен трапец, в който е вписана окръжност и около който е описана окръжност. Отношението на височината на трапеца към радиуса на описаната окръжност е равно на [tex]\sqrt{\frac{2}{3} }[/tex]. Намерете ъглите на трапеца.

[Xixibg]

[tex]1. d_1=2a.sin{\frac{\alpha }{2}}[/tex]
[tex]d_2=2a.cos{\frac{\alpha }{2}}[/tex]
[tex]P_{ABCD}=4a ; =>P_{ABCD}:(d_1+d_2)=\frac{4a}{2a(sin{\frac{\alpha }{2}}+cos{\frac{\alpha }{2}})}=k[/tex]
[tex]=>sin{\frac{\alpha }{2}}+cos{\frac{\alpha }{2}}=2k[/tex]
[tex]=>sin\alpha=4k^2-1[/tex]

[Xixibg]

[tex]2.d_1^2=b^2+c^2+2b.c.cos\alpha[/tex]
[tex]d_2^2=a^2+c^2-2a.c.cos\alpha[/tex]
[tex]cos\alpha =\frac{c^2+(a-b)^2-d^2}{2c(a-b)}[/tex]