Движение

[wenci]

Моля за помощ за следните задачи:
1зад. Двама велосипедисти се движат един срещу друг от два пункта A и B. Вторият тръгнал от B 1час по-късно от първия и при срещата им се оказало, че е изминал 30km по-малко. Първият велосипедист пристигнал в B 2часа след срещата, а втория - 6часа след срещата.Намерете:
а)разстоянието м/у пунктовете A и B
б) скоростите на велосипедистите.

2зад. От град A за почивната станция B, разстоянието между които е 150km, тръгнали едновеременно два автобуса. Единят от тях се движел с 10km/h по-бързо от другия и пристигнал в почивната станция с 45 мин. по-рано от него. Намерете:
а)средната скорост, с която се е движел всеки от автобусите
б)на какво разстояние са били те един от друг 15мин. преди пристигането в B на по-бързия автобус

[ammornil]

..::(1)::..
1зад. Двама велосипедисти се движат един срещу друг от два пункта A и B. Вторият тръгнал от B 1час по-късно от първия и при срещата им се оказало, че е изминал 30km по-малко. Първият велосипедист пристигнал в B 2часа след срещата, а втория - 6часа след срещата.Намерете:
а)разстоянието м/у пунктовете A и B
б) скоростите на велосипедистите.

Нека първият велосипедист е изминал до мястото на срещата път [tex]s_{_1,1}=x[/tex] км за време y часа. Същият път е изминал вторият велосипедист от мястото на срещата до пункт А, тоест: [tex]s_{_{2,2}}=x[/tex] км.
Тогава скоростта на първият велосипедист е: [tex]v_{_{1}}=\frac{x}{y}[/tex] км/ч.
След срещата първият велосипедист е пътувал още два часа, за което време е изминал път [tex]s_{_{1,2}}=v_{_{1}}.2=\frac{2.x}{y}[/tex]км. Това е и разстоянието, което вторият велосипедист е изминал до срещата. Следователно [tex]s_{_{2,1}}=\frac{2.x}{y}[/tex]км.
Общият път изминат от първия велосипедист е и търсеното разстояние: [tex]s_{_{AB}}=x+\frac{2.x}{y}=x.\frac{y+2}{y}[/tex]км.
До мястото на срещата вторият велосипедист се движил време (y-1) часа, следователно неговата скорост е: [tex]v_{_{2}}=\frac{s_{_{2,1}}}{y-1}=\frac{\frac{2.x}{y}}{y-1}=\frac{2.x}{y.(y-1)}[/tex]

Времето от 6 часа, за което по условие вторият велосипедист изминал пътя от мястото на срещата до пункт А се определя с израза: [tex]t_{_{2,2}}=\frac{s_{_{2,2}}}{v_{_{2}}}=\frac{x}{\frac{2.x}{y.(y-1)}}=\frac{y.(y-1)}{2}=6[/tex]
От последният израз можем да определим y.
[tex]\frac{y.(y-1)}{2}=6 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} y^{2}-y-12=0 \\
y_{_{1,2}}=\frac{1 \pm 7}{2} \\
y_{_{1}}<0 \\
y_{_{2}}=t_{_{1,1}}=4[/tex]

По условие: [tex]s_{_{1,1}}=s_{_{1,2}}+30 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} x=\frac{2.x}{y}+30 \\
x=\frac{2.x}{4}+30 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} 4.x-2.x=120 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} 2.x=120 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} x=60[/tex]

а)[tex]s_{_{AB}}=x.\frac{y+2}{y}=60.\frac{4+2}{4}=15.6=90[/tex]км

б)[tex]v_{_{1}}=\frac{x}{y}=\frac{60}{4}=15[/tex] км/ч.

[tex]v_{_{2}}=\frac{2.x}{y.(y-1)}=\frac{2.60}{4.3}=10[/tex] км/ч.

[ammornil]

Условието на задача 1 май казва, че вторият се е върнал след срещата обратно в В. Ако не е грешка при преписването, тогава решението ще е друго, а именно:

..::(1)::..
1зад. Двама велосипедисти се движат един срещу друг от два пункта A и B. Вторият тръгнал от B 1час по-късно от първия и при срещата им се оказало, че е изминал 30km по-малко. Първият велосипедист пристигнал в B 2часа след срещата, а втория - 6часа след срещата.Намерете:
а)разстоянието м/у пунктовете A и B
б) скоростите на велосипедистите.

Нека първият велосипедист е изминал до мястото на срещата път [tex]s_{_1,1}=x[/tex] км за време y часа.
Тогава скоростта на първият велосипедист е: [tex]v_{_{1}}=\frac{x}{y}[/tex] км/ч.
След срещата първият велосипедист е пътувал още два часа, за което време е изминал път [tex]s_{_{1,2}}=v_{_{1}}.2=\frac{2.x}{y}[/tex]км. Това е и разстоянието, което вторият велосипедист е изминал до срещата и обратно до В. Следователно [tex]s_{_{2,1}}=s_{_{2,2}}=\frac{2.x}{y}[/tex]км.
Общият път изминат от първия велосипедист е и търсеното разстояние: [tex]s_{_{AB}}=x+\frac{2.x}{y}=x.\frac{y+2}{y}[/tex]км.
До мястото на срещата вторият велосипедист се движил време (y-1) часа, следователно неговата скорост е: [tex]v_{_{2}}=\frac{s_{_{2,1}}}{y-1}=\frac{\frac{2.x}{y}}{y-1}=\frac{2.x}{y.(y-1)}[/tex]

Времето от 6 часа, за което по условие вторият велосипедист изминал пътя от мястото на срещата обратно до пункт B се определя с израза: [tex]t_{_{2,2}}=\frac{s_{_{2,2}}}{v_{_{2}}}=\frac{\frac{2.x}{y}}{\frac{2.x}{y.(y-1)}}=y-1=6[/tex]
От последният израз можем да определим [tex]y=7[/tex].

По условие: [tex]s_{_{1,1}}=s_{_{1,2}}+30 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} x=\frac{2.x}{y}+30 \\
x=\frac{2.x}{7}+30 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} 7.x-2.x=210 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} 5.x=210 \hspace{4} \Rightarrow \hspace{4} x=42[/tex]

а)[tex]s_{_{AB}}=x.\frac{y+2}{y}=42.\frac{7+2}{7}=6.9=54[/tex]км

б)[tex]v_{_{1}}=\frac{x}{y}=\frac{42}{7}=6[/tex] км/ч.

[tex]v_{_{2}}=\frac{2.x}{y.(y-1)}=\frac{2.42}{4.6}=2[/tex] км/ч. Тази скорост е като на бавен пешеходец, което ме навежда на мисълта, че просто условието е объркано.

[ammornil]

.::(2)::..
2зад. От град A за почивната станция B, разстоянието между които е 150km, тръгнали едновеременно два автобуса. Единят от тях се движел с 10km/h по-бързо от другия и пристигнал в почивната станция с 45 мин. по-рано от него. Намерете:
а)средната скорост, с която се е движел всеки от автобусите
б)на какво разстояние са били те един от друг 15мин. преди пристигането в B на по-бързия автобус

Нека скоростта на първия автобус е [tex]v_{1}=x \hspace{6} \cyr{km/ch}[/tex]. Тогава скоростта на вторият автобус е [tex]v_{2}=x-10 \hspace{6} \cyr{km/ch}[/tex].
Времето за движение на първия автобус е: [tex]t_{1}=\frac{150}{x} \hspace{6} \cyr{ch}[/tex]
Времето за движение на втория автобус е: [tex]t_{2}=\frac{150}{x+10} \hspace{6} \cyr{ch}[/tex]

а) по условие [tex]t_{1}=t_{2}+\frac{45}{60}[/tex]

[tex]\frac{150}{x}=\frac{150}{x+10}+\frac{3}{4} \hspace{2}|:3 \hspace{6} \Rightarrow \hspace{6} \frac{50}{x}=\frac{50}{x+10}+\frac{1}{4} \hspace{6} \Rightarrow \hspace{6} 4.50.(x+10)=4.50.x+x.(x+10) \hspace{6} \Rightarrow \hspace{6} \\
\cancel{200.x}+2000=\cancel{200.x}+x^{2}+10.x \hspace{6} \Rightarrow \hspace{6} x^{2}+10.x-2000=0 \\
x_{_{1,2}}=-5 \pm 45 \\
x_{_{1}}<0 \notin \cyr{DM} \\
x_{_{2}}=40 \hspace{6} \cyr{km/ch}[/tex]

[tex]v_{1}=40 \hspace{6} \cyr{km/ch}, \hspace{12} v_{2}=30 \hspace{6} \cyr{km/ch}[/tex]

б)Първият автобус се движил от А до В за време: [tex]t_{1}=\frac{150}{40}=3\frac{3}{4} \hspace{6} \cyr{ch}[/tex]. Това са 3 часа и 45 минути. Следователно е нужно да намерим колко километра е изминал този автобус за 3 часа и 30 минути (15 минути преди да пристигне в В).
Получаваме: [tex]s_{C1}=40.\frac{7}{2}=140 \hspace{6} \cyr{km}[/tex].
За същото време вторият автобус е изминал път: [tex]s_{C2}=30.\frac{7}{2}=105 \hspace{6} \cyr{km}[/tex].
Оттук следва, че 15 минути преди първият автобус да достигне В те са се намирали на разстояние един от друг:
[tex]\Delta s=s_{C1}-s_{C2}=140-105=35 \hspace{6} \cyr{km}[/tex]