Как се решават тези уравнения?

[Гост]

Може ли да ми обясните по-подробно как се решават такива уравнения?

1. [tex]x^2+x=\sqrt{9-6x+x^2}[/tex]
2. [tex]x^2-x=\sqrt{9x^2+30x+25}[/tex]
3. [tex]\sqrt{25x^2-20x+4} - \sqrt{9x^2-6x+1} =1[/tex]

[ammornil]

(1)[tex]x^2+x=\sqrt{9-6x+x^2}[/tex]

[tex]\cyr{DM}: \\
9-6x+x^2 \ge 0 \hspace{6} \Rightarrow x^{2}-2.x.3+3^{2} \ge 0 \hspace{6} \Rightarrow (x-3)^{2} \ge 0 \hspace{6} \Rightarrow x \in R[/tex]
..::..
[tex]x^2+x=\sqrt{(x-3)^2} \hspace{6} \Rightarrow \hspace{6} x^2+x=|x-3| \\
x^2+x=x-3 \hspace{12} \cup \hspace{12} x^2+x=-(x-3) \\
x^2+x-x+3=0 \hspace{12} \cup \hspace{12} x^2+x+x-3=0 \\
x^2+3=0 \hspace{12} \cup \hspace{12} x^2+2.x-3=0 \\
\oslash \hspace{12} \cup \hspace{12} x_{_{1}}=-3, \hspace{36} x_{_{2}}=1[/tex]

[ammornil]

(2) по същия начин както (1), направи ДМ, освободи се от корена чрез модул и разгледай два случая- когато аргументът на модула е положителен и когато е отрицателен.
..::..
(3)[tex]\sqrt{25x^2-20x+4} - \sqrt{9x^2-6x+1} =1[/tex]

ДМ:
[tex]\left|25x^2-20x+4 \ge 0 \\ 9x^2-6x+1 \ge 0 \right, \hspace{6} \Rightarrow \left|(5.x)^2-2.(5.x).2+2^2 \ge 0 \\ (3.x)^2-2.(3.x).1+1 \ge 0 \right, \hspace{6} \Rightarrow \left|(5.x-2)^2 \ge 0 \\ (3.x-1)^2 \ge 0 \right, \hspace{6} \Rightarrow x \in R[/tex]

[tex]\sqrt{25x^2-20x+4} - \sqrt{9x^2-6x+1} =1 \hspace{12} \Leftrightarrow \hspace{12} \sqrt{(5.x-2)^2 }-\sqrt{(3.x-1)^2}=1 \\
|5.x-2|-|3.x-1|=1 \\
\cdots \\
(1) x \in (-\infty;\frac{1}{3}] \hspace{12} \Rightarrow -(5.x-2)-[-(3.x-1)]=1 \\
-5.x+2+3.x-1=1 \hspace{6} \Rightarrow \hspace{6} -2.x=0 \hspace{6} \Rightarrow \\
x=0 \hspace{12} \cyr{prinadlezhi na intervala} \Rightarrow \cyr{e reshenie} \\
\cdots \\
(2) x \in (\frac{1}{3};\frac{2}{5}] \hspace{12} \Rightarrow -(5.x-2)-[+(3.x-1)]=1 \\
-5.x+2-3.x+1=1 \hspace{6} \Rightarrow \hspace{6} -8.x=-2 \hspace{6} \Rightarrow \\
x=\frac{1}{4} \notin \cyr{na deniya interval} \Rightarrow \cyr{ne e reshenie} \\
\cdots \\
(3) x \in (\frac{2}{5};+\infty) \hspace{12} \Rightarrow (5.x-2)-(3.x-1)=1 \\
5.x-2-3.x+1=1 \hspace{6} \Rightarrow \hspace{6} 2.x=2 \hspace{6} \Rightarrow\\
x=1 \cyr{prinadlezhi na intervala} \Rightarrow \cyr{e reshenie}[/tex]

Отговор: x=0, x=1