Виет

[Гост]

Моля за помощ по следната задача:
Намерете стойностите на параметъра a, за който уравнението [tex]x^2+2mx-2m-1=0[/tex] има два различни положителни корена.

[ammornil]

Намерете стойностите на параметъра a, за който уравнението x^2+2mx-2m-1=0 има два различни положителни корена.

Параметърът а не участва в даденото уравнение! Да разгледаме параметъра m.

Нека [tex]x_1>0, \hspace{12} x_2>0, \hspace{12} x_1 \ne x_2[/tex]
Тогава следва:
[tex]\left| D>0 \\ D \ne 0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1.x_2>0 \right.[/tex]
От формули на Виет можем да определим, че:
[tex]x_1+x_2=-\frac{2.m}{1}=-2.m \\
x_1.x_2=\frac{-2.m-1}{1}=-2.m-1[/tex]
Заместваме в системата неравенства:
[tex]\left| m^2-1.(-2.m-1)>0 \\ m^2-1.(-2.m-1) \ne 0 \\-2.m>0 \\ -2.m-1>0 \right. \Rightarrow[/tex]
[tex]\left| m^2+2.m+1>0 \\ m^2+2.m+1 \ne 0 \\ m<0 \\ -2.m>1 \right. \Rightarrow[/tex]
[tex]\left| (m+1)^2>0 \\ (m+1)^2\ne 0 \\ m<0 \\ m<-\frac{1}{2} \right. \Rightarrow[/tex]
[tex]\left| \forall m \in R \\ m \ne -1 \\ m<0 \\ m<-\frac{1}{2} \right. \hspace{12} \Rightarrow \\
m \in (-\infty;-1) \cup \left(-1;-\frac{1}{2}\right)[/tex]

[Гост]

Благодаря много за решението
Само искам да попитам 2 въпроса
Защо трябва да проверяваме [tex]D\ne0[/tex] и интервала как се определя?

[ammornil]

Защото за да са различни един от друг корените, трябва да изключим Дискриминанта равна на нула.

Интервалът се определя, като всяко от условията в решената система се нанася на числовата ос и се прави сечение. В случая първото условие се пропуска (изпълнено е за всяко х). Второто ни казва, че ако интервалът на решенията включва в себе си -1, то трябва да се изключи (интервалът се прекъсва в -1). Третото и четвъртото има сечение [tex]x \in \left(-\infty;-\frac{1}{2}\right)[/tex], от който като изключим -1 се получава дадения от мен интервал. Графично това изглежда горе долу както съм показал в прикачения файл.