Геометрична задача от олимпиадата

[Гост]

Моля за решението на тази задача:
зад. През върха А на квадрата ABCD са прекарани два лъча, ъгълът между които е 45°. Единият лъч пресича страната BC и диагонала BD съответно в точките M и N, а другият - страната CD и диагонала BD съответно в точките P и Q. Да се докаже, че C,M,N,Q,P са точки от една окръжност

[svetoslav80]

PN се вижда под ъгъл 45[tex]^\circ[/tex] от т. D и от т. A => около ANPD може да се опише окръжност => [tex]\angle[/tex]ADP + [tex]\angle[/tex]ANP = 180[tex]^\circ[/tex] => [tex]\angle[/tex]ANP=90[tex]^\circ[/tex]=[tex]\angle[/tex]MNP. [tex]\angle[/tex]MNP+[tex]\angle[/tex]PCM=180[tex]^\circ[/tex] => около PNMC може да се опише окръжност. (1)
QM се вижда под ъгъл 45[tex]^\circ[/tex] от т. B и от т. A => около ABMQ може да се опише окръжност => [tex]\angle[/tex]ABM + [tex]\angle[/tex]AQM = 180[tex]^\circ[/tex] => [tex]\angle[/tex]AQM=90[tex]^\circ[/tex]

=>[tex]\angle[/tex]AMQ=45[tex]^\circ[/tex] => QN се вижда под ъгъл 45[tex]^\circ[/tex] от т. P и от т. M => около QNMP може да се опише окръжност. (2)

От (1) и (2), и понеже около триъгълник (съответно четириъгълник), може да се опише само една окръжност, следва че всички точки Q,N,M,C,P лежат на една окръжност.