Функции

[Гост]

Дадена е функцията [tex]f(x)=ax^2-(a+1)x+a-1[/tex].За кои стойности на а:
а) уравнението f(x)=0 има 2 реални корена
б) неравенството f(x)<0 е вярно за всяко х
в) уравнението f(x)<0 има корени за който е изпълнено равенството [tex](x_1-1)(x_2-1)=6[/tex]

Благодаря предварително.

[ammornil]

Дадена е функцията [tex]f(x)=ax^2-(a+1)x+a-1[/tex].За кои стойности на а:
а) уравнението f(x)=0 има 2 реални корена
б) неравенството f(x)<0 е вярно за всяко х
в) уравнението f(x)<0 има корени за който е изпълнено равенството [tex](x_1-1)(x_2-1)=6[/tex].

***
[tex]f(x)=ax^2-(a+1)x+a-1 \\
\vspace{10} \\
\cyr{DM}: \hspace{12} \forall x \in R[/tex]

(а)уравнението f(x)=0 има 2 реални корена
[tex]\exist (x_1, x_2) \in R \hspace{12} \Rightarrow D \ge 0 \hspace{12} \Rightarrow (a+1)^2-4.a.(a-1) \ge 0 \hspace{12} \Rightarrow a^2+2a+1-4a^2+4a \ge 0 \hspace{12} \Rightarrow \\
-3a^2+6a+1 \ge 0 \hspace{12} \Rightarrow 3a^2-6a-1 \le 0 \hspace{12} \Rightarrow 3.(x-\frac{3-2\sqrt{3}}{3}).(x-\frac{3+2\sqrt{3}}{3}) \le 0 \Rightarrow \\
a \in \[\frac{3-2\sqrt{3}}{3}; \frac{3+2\sqrt{3}}{3} \][/tex]

(б) неравенството f(x)<0 е вярно за всяко х
[tex]ax^2-(a+1)x+a-1<0 \hspace{8} \cyr{za} \forall x \in R \hspace{12} \Rightarrow \left|D<0 \\ a<0 \right, \\
\left|-3a^2+6a+1 < 0 \\ a<0 \right, \hspace{12} \Rightarrow \left|3a^2-6a-1 > 0 \\ a<0 \right, \hspace{12} \Rightarrow \left|3.(x-\frac{3-2\sqrt{3}}{3}).(x-\frac{3+2\sqrt{3}}{3}) > 0 \\ a<0 \right, \hspace{12} \Rightarrow \\
\left| a \in (-\infty;\frac{3-2\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{3+2\sqrt{3}}{3}; +\infty) \\ a \in (-\infty; 0) \right, \hspace{12} \Rightarrow a \in (-\infty;0)[/tex]

(в) уравнението f(x)=0 има корени за който е изпълнено равенството [tex](x_1-1)(x_2-1)=6 \\ \left|x_1+x_2=-\frac{-(a+1)}{a}=\frac{a+1}{a} \\ x_1.x_{2}=\frac{a-1}{a} \right, \\
(x_1-1)(x_2-1)=6 \hspace{12} \Rightarrow x_1.x_2-x_1-x_2+1=6 \hspace{12} \Rightarrow x_1.x_2-(x_1+x_2)-5=0 \\
\frac{a-1}{a}-\frac{a+1}{a}-5=0 \\
a-1-a-1-5a=0 \\
-5a=2 \\
a=-\frac{2}{5}[/tex]