Дефиниционно множество

[Гост]

Един въпрос : Какво е дефиниционно множество след двете повдигания ? [tex]\sqrt{x-a}[/tex]+[tex]\sqrt{2x}[/tex]= 1

[Гост]

ДМ се определя в началото
[tex]x\ge 0 \cap x\ge a[/tex]

[Гост]

Иначе решението е следното:
ДМ: [tex]x\ge0 \cap x\ge a[/tex]
Повдигаме на квадрат:
[tex]\sqrt{x-a}+\sqrt{2x}=1\Rightarrow x-a+2x+2\sqrt{2x(x-a)}=1\Leftrightarrow 3x-a+2\sqrt{2x(x-a)}=1\Leftrightarrow 2\sqrt{2x(x-a)}=-3x+a+1[/tex]. Очевидно, искаме [tex]-2x\ge -a-1\Leftrightarrow x\le \frac{a+1}{2}[/tex].
Дотук получихме [tex]x\in [\max{(0,a)},\frac{a+1}{2}][/tex]. В частност следва че [tex]0\le\frac{a+1}{2}\Rightarrow a\ge -1[/tex] и че [tex]a\le \frac{a+1}{2}\Rightarrow a\le 1\Rightarrow a \in [-1,1][/tex].
Повдигаме на квадрат:
[tex]8x(x-a)=9x^2-6x(a+1)+(a+1)^2\Leftrightarrow 8x^2-8ax=9x^2-6x(a+1)+(a+1)^2\Leftrightarrow x^2-2x(3(a+1)-4a)+(a+1)^2=0[/tex][tex]\Leftrightarrow x^2-2x(3-a)+(a+1)^2=0[/tex].
[tex]D_{x^2-2x(3-a)+(a+1)^2}=4(a-3)^2-4(a+1)^2=4(2a-2)(-4)\ge 0[/tex]. Значи имаме 2 реални корена (незадължително различни). Произведението от корените и сбора им са неотрицателни. И двата не могат да са по-малки или равни от [tex]\frac{a+1}{2}[/tex], защото ако са, то сумата им е по-малка или равна на [tex]a+1[/tex]. От друга страна тя е [tex]2(3-a)\Rightarrow 6-2a\le a+1\Rightarrow 5\le 3a\Rightarrow a>1[/tex]. Дотук остана възможността само [tex]x_1=\frac{2(a-3)-4\sqrt{2-2a}}{2}=a-3-2\sqrt{2-2a}[/tex] да е корен. [tex]f(0)\ge 0[/tex], [tex]f(a)=(2a-1)^2\ge 0[/tex] и [tex]a<6-2a\Rightarrow[/tex] и двата корена са по-големи както от 0 така и от [tex]a[/tex].
Окончателно [tex]a\in [-1,1][/tex].