Свойства на ъглополовящите

[Гост]

Вътрешна и външна ъглополовяща при връх А на триъгълника АВС пресичат правата BC съответно в точките M и N. Да се докаже че за всяка точка Р от окръжността с диаметър МN е вярно равенството [tex]\frac{PB}{PC} = \frac{AB}{AC}[/tex] .

Благодаря предварително .

[svetoslav80]

f=37&t=12186.png (27.76 KiB) Прегледано 6395 пъти

От свойството на вътрешна и външна ъглополовяща [tex]\frac{AB}{AC }=\frac{BM}{CM }=\frac{BN}{CN }[/tex]
[tex]\angle BMP=180^\circ -\angle CMP =>sin\angle BMP=sin\angle CMP=sin\angle M[/tex]
Прилагаме синусова теорема за триъгълници BMP и CMP:
[tex]\frac{BM}{sinx }=\frac{BP}{sin\angle M }[/tex] (1) и [tex]\frac{CM}{siny }=\frac{CP}{sin\angle M }[/tex] (2)
Разделяме уравненията (1) и (2) и получаваме
[tex]\frac{BMsiny}{CMsinx }=\frac{BP}{CP }[/tex], но [tex]\frac{BM}{CM }=\frac{BN}{CN }[/tex] => [tex]\frac{BP}{CP }=\frac{BNsiny}{CNsinx }[/tex] (3)
Прилагаме синусова теорема за триъгълници NBP и NCP:
[tex]\frac{BN}{sin(90+x) }=\frac{BP}{sin\angle N }[/tex] , [tex]\frac{BN}{cosx }=\frac{BP}{sin\angle N }[/tex] (4) и [tex]\frac{NC}{sin(90-y) }=\frac{PC}{sin\angle N }[/tex] , [tex]\frac{NC}{cosy }=\frac{PC}{sin\angle N }[/tex] (5)
Разделяме уравненията (4) и (5) и получаваме:
[tex]\frac{BNcosy}{NCcosx }=\frac{BP}{CP}[/tex] (6)
От (3) и (6) => [tex]\frac{BNcosy}{CNcosx }=\frac{BNsiny}{CNsinx }[/tex] => [tex]\frac{cosy}{cosx }=\frac{siny}{sinx }[/tex] =>
[tex]\frac{sinx}{cosx }=\frac{siny}{cosy }[/tex] => [tex]tgx=tgy[/tex] => [tex]x=y[/tex]

[ganka simeonova]

В 9 клас син. т-ма не се изучава. Само свойство на ъглопололвяща и правоъгълен и равнобедрен триъгълник.

[svetoslav80]

В 9 клас син. т-ма не се изучава. Само свойство на ъглопололвяща и правоъгълен и равнобедрен триъгълник.

За 2-ри път ми правят такава забележка ама като не помня вече кога какво се учи ... еми аз само за това решение се сетих някой ако знае решение с материала до 9-ти клас да го публикува. Мерси за уточнението.

[ganka simeonova]

В 9 клас син. т-ма не се изучава. Само свойство на ъглопололвяща и правоъгълен и равнобедрен триъгълник.

За 2-ри път ми правят такава забележка ама като не помня вече кога какво се учи ... еми аз само за това решение се сетих някой ако знае решение с материала до 9-ти клас да го публикува. Мерси за уточнението.

7+ 8 клас:)
7 клас- Ъглополовящите на съседни ъгли са перпендикулярни.
2)Вписан ъгъл в окръжност...

[darkstep]

А единен страничен въпрос - това свойство на вътрешна и външна ъглопол. доказва ли се?