Ирационални уравнения.

[Гост]

1. [tex]\sqrt[2]{x} + 3 = 1[/tex]
2. [tex]\sqrt{x^2 - 7} = 3[/tex]
3. [tex]\sqrt{3x + 1} = \sqrt{4(x - 1)}[/tex]

Благодаря предварително! ( :

[ammornil]

***1***
[tex]\sqrt{x} + 3 = 1 \\
\vspace{5} \\
\cyr{DM} \hspace{8} x \ge 0 \Rightarrow x [0;+\infty) \\
\vspace{5} \\
\sqrt{x}=-2 \\
(\sqrt{x})^2 = (-2)^2 \\
x=4 \in \cyr{DM}\\
\vspace{5}\\
\underline{\cyr{Proverka}} \\
x=4 \rightarrow \sqrt{4}+3 = 1, \hspace{4} \Rightarrow 2+3 \ne 1 \hspace{4} \cyr{nevyarno} \hspace{2} \Rightarrow x=4 \cyr{ne e reshenie}[/tex]

***2***
[tex]\sqrt{x^2 - 7} = 3 \\
\vspace{5} \\
\cyr{DM} \hspace{8} x^2-7 \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty;-\sqrt{7}) \cup (\sqrt{7};+\infty) \\
\vspace{5} \\
(\sqrt{x^2 - 7})^2 = 3^2 \\
x^2-7=9 \\
x^2=16 \\
x=\pm4 \in \cyr{DM}\\
\vspace{5}\\
\underline{\cyr{Proverka}} \\
x_1=-4 \rightarrow \sqrt{(-4)^2 - 7} = 3, \hspace{4} \Rightarrow \sqrt{9}=3 \hspace{4} \cyr{vyarno} \hspace{2} \Rightarrow x_1 \cyr{e reshenie} \\
x_2=4 \rightarrow \sqrt{4^2 - 7} = 3, \hspace{4} \Rightarrow \sqrt{9}=3 \hspace{4} \cyr{vyarno} \hspace{2} \Rightarrow x_2 \cyr{e reshenie}[/tex]

***3***
[tex]\sqrt{3x + 1} = \sqrt{4(x - 1)} \\
\vspace{5} \\
\cyr{DM} \hspace{8} \begin{array}{|l}3x+1 \ge 0 \\ 4.(x-1) \ge 0 \end{array} \hspace{4} \Rightarrow \begin{array}{|l}x \ge -\frac{1}{3} \\ x \ge 1 \end{array} \Rightarrow x \in [1;+\infty) \\
\vspace{5} \\
(\sqrt{3x + 1})^2 = (\sqrt{4(x - 1)})^2 \\
3x+1=4(x-1) \\
3x+1=4x-4 \\
-x=-5 \\
x=5 \in \cyr{DM} \\
\vspace{5} \\
\underline{Проверка}[/tex]
[tex]x=5 \rightarrow \sqrt{3.5 + 1} = \sqrt{4(5 - 1)}, \hspace{4} \Rightarrow \sqrt{16}=\sqrt{16} \hspace{4} \cyr{vyarno} \hspace{2} \Rightarrow x=5 \cyr{e reshenie}[/tex]

[Гост]

Една корекция в първия пример: [tex]2\sqrt{x} + 3 = 1[/tex]

[Гост]

Една корекция в първия пример: [tex]2\sqrt{x} + 3 = 1[/tex]

[Гост]

ammornil, когато дясната страна на ирационалното уравнение е отрицателна, е абсурдно да се повдига на втора степен (даже е грешно).

[ganka simeonova]

ammornil, когато дясната страна на ирационалното уравнение е отрицателна, е абсурдно да се повдига на втора степен (даже е грешно).

Да, съгласна съм, че е абсурдно, но той после прави проверка, която потвърждава този абсурд.
Аз лично никога не бих повдигнала на втора, но в крайна сметка и той получава, че числото не е корен.
Винаги трябва да се оглежда внимателно полученото уравнение, за да се прецени, има ли смисъл от по-нататъшно решение..
В противен случай могат да се получат доста хамалски и трудоемки сметки.

[Гост]

За едно ирационално уравнение от вида [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex] има смисъл да се повдига на втора степен само ако [tex]g(x) \ge 0[/tex], иначе е безсмислено. Дори по определение ако [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex], то [tex]g(x) \ge 0[/tex]. Затова, ammornil, когато решаваш уравнение с един радикал, изисквай условието за неотрицателност на дясната ти страна, защото по този начин си спестяваш сума ти излишни и абсурдни неща (както и Ганка каза). Не го приемай като заяждане, по никакъв начин не целя да те обидя, а да ти покажа, че е по-добре първо да огледаш уравнението и след това да тръгваш хамалската да вдигаш на разни степени, за да се освободиш от радикалите.

[Гост]

Защото е много важно да отчиташ неотрицателността при уравненията с 2 радикала. Просто е тъпо да правим, както в много училища са ни учили: да вдигаме на втора степен, докато свят ни се завие, да получим някакви си корени и после просто да заместим в изходното уравнение. Ами не, проверката на решенията в началното уравнение е излишна, след като можем да я извършим чрез условието [tex]g(x) \ge 0[/tex].

[strangerforever]

Защото е много важно да отчиташ неотрицателността при уравненията с 2 радикала. Просто е тъпо да правим, както в много училища са ни учили: да вдигаме на втора степен, докато свят ни се завие, да получим някакви си корени и после просто да заместим в изходното уравнение. Ами не, проверката на решенията в началното уравнение е излишна, след като можем да я извършим чрез условието [tex]g(x) \ge 0[/tex].

Всъщност, не е така. Има случаи, в които директната проверка е далеч по-удачна, а няма нищо грешно в начина му на решаване.

[Гост]

Ще ти дам един много прост пример.

[tex]\sqrt{2x+5} = 2x-1[/tex]

Как се процедира при тези уравнения, най-простите (с един радикал)? В училище ни казват, че трябва да решаваме двете неравенства

[tex]f(x) \ge 0, \quad g(x) \ge 0[/tex].

Не, понякога решаването на [tex]f(x) \ge 0[/tex] е трудоемко и затова решаването му при уравнения от този вид отпада. Остава само условието [tex]g(x) \ge 0[/tex]. А защо? Нека имаме уравнението

[tex]\sqrt{f(x)} = g(x)[/tex]

и да повдигнем на квадрат при [tex]g(x) \ge 0[/tex]. Получаваме [tex]f(x)=g^2(x)[/tex]. Ако [tex]\alpha[/tex] някакъв корен на това уравнение, то

[tex]f(\alpha)=g^2(\alpha) \Rightarrow f(\alpha) \ge 0[/tex].

Така се вижда, че при повдигане на неотрицателни изрази в квадрат не се получават чужди корени. Затова, решавайки ирационални уравнения с един радикал, е достатъчно да държим сметка само за условието [tex]g(x) \ge 0[/tex].
Да се върнем на примера.

[tex]2x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{2}[/tex]

При това ограничение повдигаме на квадрат.

[tex]2x+5=(2x-1)^2, \quad 2x+5=4x^2-4x+1, \quad 4x^2-6x-4=0, \quad 2x^2-3x-2=0[/tex]

[tex]x_{1,2}=\frac{3 \pm 5}{4}, \quad x_{1}=2, \quad x_{2}=-\frac{1}{2}[/tex]

Само първото е решение.
Ганке, само ти можеш да кажеш дали моите аргументи относно метода за решаване на [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex] са правилни. Аз съм последна година студент и мисленето ми относно някои неща, показвани ни в училище, доста се е променило и съм на мнение, че поне по отношение на уравнения с повече от един радикал проверката не е най-удачният вариант (аз не обичам да смятам).

[ganka simeonova]

Само първото е решение.
Ганке, само ти можеш да кажеш дали моите аргументи относно метода за решаване на [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex] са правилни. Аз съм последна година студент и мисленето ми относно някои неща, показвани ни в училище, доста се е променило и съм на мнение, че поне по отношение на уравнения с повече от един радикал проверката не е най-удачният вариант (аз не обичам да смятам).

И аз съм на този принцип:)

[inveidar]

За едно ирационално уравнение от вида [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex] има смисъл да се повдига на втора степен само ако [tex]g(x) \ge 0[/tex], иначе е безсмислено. Дори по определение ако [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex], то [tex]g(x) \ge 0[/tex]. Затова, ammornil, когато решаваш уравнение с един радикал, изисквай условието за неотрицателност на дясната ти страна, защото по този начин си спестяваш сума ти излишни и абсурдни неща (както и Ганка каза). Не го приемай като заяждане, по никакъв начин не целя да те обидя, а да ти покажа, че е по-добре първо да огледаш уравнението и след това да тръгваш хамалската да вдигаш на разни степени, за да се освободиш от радикалите.

Всъщност това не е изобщо така. Понякога ирационалното уравнение е нагласено така, че при проверка за неотрицателност на дясната страна да се стига до неравенство, което не може да бъде решено. Поради тази причина е хубаво да се знаят и двата начина. Мога да ви дам и пример, но не сега.

[Гост]

[tex]\sqrt{x^2-3x-3 -3} =2x[/tex]
[tex]\sqrt{x+3} +\sqrt{22-x} =7[/tex]
[tex]3\sqrt{2x+6} -2\sqrt{x+2} =10+\frac{2x}{\sqrt{2x+6} }[/tex]

[Гост]

[tex]\sqrt{2x+1}[/tex] + [tex]\sqrt{x}[/tex] = 2[tex]\sqrt{x}[/tex] [tex]\sqrt{2x+1}[/tex]

[Гост]

[tex]\sqrt{x^2-3x-3 -3} =2x[/tex]
[tex]\sqrt{x+3} +\sqrt{22-x} =7[/tex]
[tex]3\sqrt{2x+6} -2\sqrt{x+2} =10+\frac{2x}{\sqrt{2x+6} }[/tex]

Безсловесно и невъзпитано. Напиши няколко думи, сред които "Моля", "Ако обичате", "Реших ..., но не ми е ясно следното"