геометричнa задачa

[Гост]

Ъгълът при върха С на равнобедрен триъг. АBC е 120 градуса, а точките М и N разделят основата на три равни части. Да се докаже, че триъг. CMN е равностранен.

[Anubis]

Приемаме, че основата на триъгълника е [tex]AB=1[/tex].

[tex]AM=MN=NB=\frac{1}{3}, \quad MH=HN=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{6}[/tex]

[tex]\triangle AMC \simeq \triangle BNC[/tex] по 1 признак, тогава [tex]MC=NC[/tex], или [tex]\triangle MNC[/tex] е равнобедрен

[tex]CH \bot AB \Rightarrow CH=\frac{1}{2\sqrt{3}}; \quad MH^2+CH^2=CM^2 \Rightarrow CM=\frac{1}{3}[/tex]

Тогава и [tex]CN=\frac{1}{3}[/tex]. Така [tex]CM=MN=NC[/tex].

[ammornil]

Приемаме, че основата на триъгълника е [tex]AB=1[/tex].

[tex]AM=MN=NB=\frac{1}{3}, \quad MH=HN=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{6}[/tex]

[tex]\triangle AMC \simeq \triangle BNC[/tex] по 1 признак, тогава [tex]MC=NC[/tex], или [tex]\triangle MNC[/tex] е равнобедрен

[tex]CH \bot AB \Rightarrow CH=\frac{1}{2\sqrt{3}}; \quad MH^2+CH^2=CM^2 \Rightarrow CM=\frac{1}{3}[/tex]

Тогава и [tex]CN=\frac{1}{3}[/tex]. Така [tex]CM=MN=NC[/tex].

Коректно е да се каже, че ако: [tex]AB=m, \hspace{12} m>0[/tex]
то: [tex]AM=MN=NB=\frac{1}{3}m, \quad MH=HN=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{6}m[/tex]

[ganka simeonova]

Спокойно може да приемем, че основата е 1.