Св-во на ъглополовящата и Талес

[Levskiiii]

Страните на триъгълник АВС са в отношение 5 : 5 : 2, като АВ е най-малката. Нека I е центърът на вписаната окръжност, D - допирната точка на окръжността с АВ, а G е диаметрално противоположната на D в тази окръжност.
a)Правата AG пресича BC в точка М. Да се намери BM : MC.
б)Нека К е петата на перпендикуляра от G към BC. Да се докаже, че 4.AI.IG = 7.GK.IL, където L е пресечната точка на AI и ВС

[strangerforever]

За а):

[tex]I \in CD \Rightarrow G \in CD[/tex]

AI ъглополовяща [tex]\Rightarrow \frac{CI}{ID} = \frac{AC}{AD} = 5 \Rightarrow CI = 5x, ID = x \Rightarrow GD = 2x, CG = 4x[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{CG}{GD} = \frac{4x}{2x} = 2 \Rightarrow[/tex] G - медицентър на ABC [tex]\Rightarrow \frac{BM}{MC} = 1[/tex]

[strangerforever]

б):
Нека [tex]AC = BC = 5x \Rightarrow AB = 2x[/tex]
Лесно пресмятаме от свойството на ъглополовящата, че [tex]CL = \frac{25x}{7}[/tex]
Тогава имаме [tex]\frac{AI}{IL} = \frac{AC}{CL} = \frac{7}{5}[/tex]

Също така [tex]\frac{4}{7}.\frac{AI}{IL} = \frac{4}{5}[/tex] (1)

От друга страна [tex]\Delta CGK \sim \Delta CBD \Rightarrow GK = \frac{DB}{BC}.CG = \frac{CG}{5}[/tex]

От а) имаме и [tex]IG = \frac{DG}{2} = \frac{CG}{4}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{GK}{IG} = \frac{4}{5}[/tex] (2)

От (1) и (2) следва исканото.