описан трапец

[Гост]

Здравейте,

Моля за съдействие за следната задача:

Равнобедрен трапец ABCD /AB||CD/ е описан около окръжност с радиус r. Да се намери отсечката между допирните точки на окръжността с бедрата, ако АД е с.
Знам свойството за описания четириъгълник, както и факта, че търсената отсечка се разполовява от диаметъра ... обаче на подобните триъгълници запецнах ...
отг. 4r*2/c

[ИнтеГРАЛА]

отговор със закъснение, но все пак... Нека допирните точки на окръжността с бедрата AD и BC са съответно M и N. През N построяваме права, успоредна на AD, която пресича AB и CD в точки P и Q. [tex]\Delta PBN[/tex] ~ [tex]\Delta QCN[/tex]. Записваме пропорцията [tex]\frac{PB}{QC }[/tex] =[tex]\frac{PN}{ QN}[/tex] . Заместваме с PB = a - MN, QC = MN - b, PN = [tex]\frac{a}{2 }[/tex] ( допирателна от точкa А и/или B kъм окръжността), QN = [tex]\frac{b}{2 }[/tex] ( допирателна от точки C и/или B kъм окръжността). След преработка получаваме MN = [tex]\frac{2ab}{a+b}[/tex]. Oт свойството на описания четириъгълник имаме a+b = 2c. За да намерим ab използваме,че [tex]\Delta BOC[/tex] е правоъгълен с височина ОN,т.е. BN.CN = [tex]r^2[/tex] => [tex]\frac{a}{2 }[/tex].[tex]\frac{b}{ 2}[/tex] = [tex]r^2[/tex]. Заместваме и получаме отговора.