Равнобедрен триъгълник

[Гост]

1) Основата на равнобедрен триъгълник е 12 см, а бедрото му е 9 см. В триъгълника е вписана окръжност и към нея е построена допирателна, успоредна на основата. Да се намери отсечката от допирателната, заключена между бедрата на триъгълника.
отг. 2,4см
2) В равнобедрения ▲ ABC (AC=BC) е вписана окръжност с радиус 3 см, която се допира до бедрата в точките P и Q. Разстоянието от върха C до най-близката точка от окръжността е 3 см. Да се намери PQ.
отг. 3√3

[Гост]

1.Използвай свойство на допирателните.Ако [tex]MN=2x[/tex] е търсената отсечка то [tex]MC=NC=3-x[/tex]
[tex]\triangle ABC \approx \triangle MNC ; =>\frac{MN}{AB}=\frac{MC}{AC} ; =>2x.9=(3-x).12 ; =>30x=36[/tex]
[tex]=>x=\frac{12}{10}=1,2 ; =>MN=2x=2,4[/tex]

2.Нека [tex]O[/tex] е центъра на окръжността [tex]=>CO=6 ; OP=OQ=3 ; =>\angle PCO=\angle QCO=30^\circ[/tex] (Катет срещу ъгъл [tex]30^\circ[/tex] в правоъгълен триъгълник)
[tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен с ъгъл [tex]60^\circ[/tex] следователно е равностранен.
[tex]=>AP=BQ=\frac{1}{2}AB ; =>P,Q[/tex] са среди [tex]=>PQ=\frac{1}{2}AB[/tex] като средна отсечка)
[tex]CP=\frac{1}{2}AC=\sqrt{CO^2-OP^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3} ; =>PQ=3\sqrt{3}[/tex]