Намерете ъглополовящите в правоъгълен триъгълник

[Гост]

Някой може ли да ми реши следната задача:
зад. Катетите на правоъгълен триъгълник са a=6, b=8.Намерете ъглополовящите му.

[S.B.]

Задачата трябва да се реши със знанията за 9 клас,без да се използва формулата за ъглополовяща,тъй като още не е изучавана.
[tex]\triangle[/tex]ABC,[tex]\angle C = 90^\circ,AC = 8,BC = 6[/tex].Tърсим ъглополовящите CL,AM и BN;
По Питагор [tex]AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} \Rightarrow AB = \sqrt{8^{2} + 6^{2}}[/tex] или AB = 10;
Ъглополовящата CL:Построяваме височината CH[tex]\bot[/tex]AB, H[tex]\in[/tex]AB;
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} = \frac{6.8}{2} = 24[/tex];[tex]S_{ABC } = \frac{CH.AB}{2} = \frac{CH.10}{2}[/tex][tex]\Rightarrow \frac{CH.10}{2} = 24[/tex] или CH = [tex]\frac{48}{10}[/tex];
От [tex]\triangle[/tex]HBC по Питагор:[tex]HB^{2} = BC^{2} - CH^{2} \Rightarrow HB = \sqrt{6^{2} - (\frac{48}{10)}^{2}}[/tex] или HB = [tex]\frac{36}{10}[/tex]; AH = AB - HB = 10 - [tex]\frac{36}{10}[/tex] или AH = [tex]\frac{64}{10}[/tex];
Според свойството на ъглополовящата:[tex]\frac{AL}{LB} = \frac{AC}{BC}[/tex] ако AL= x,BL = 10 - x [tex]\frac{x}{10 - x} = \frac{8}{6}[/tex] от където x = AL = [tex]\frac{40}{7}[/tex];
LH = AH - AL = [tex]\frac{64}{10} - \frac{40}{7}[/tex] или LH = [tex]\frac{48}{35}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]CLH по Питагор:[tex]CL^{2} = CH^{2} + LH^{2} \Rightarrow CL = \sqrt{(\frac{48}{10})^{2} + (\frac{48}{35})^{2}}[/tex] или [tex]CL = \frac{48\sqrt{10}}{10}[/tex];
Ъглополовяща BN: Нека NC = y , AN = 8 - y;
От свойството на ъглополовящата :[tex]\frac{CN}{AN} = \frac{CB}{AB} \Rightarrow \frac{y}{8 - y} = \frac{6}{10}[/tex] от където CN = y = 3
От [tex]\triangle[/tex]BNC по Питагор :[tex]BN^{2} = NC^{2} + BC^{2} \Rightarrow BN = \sqrt{3^{2} + 6^{2}}[/tex] или [tex]BN = 3\sqrt{5}[/tex];
Ъглополовяща AM: Нека CM = z , BM = 6 - z;
От свойството на ъглополовящата: [tex]\frac{CM}{MB} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{z}{6 - z} = \frac{8}{10}[/tex] от където CM = z = [tex]\frac{8}{3}[/tex]
От [tex]\triangle[/tex]AMC по Питагор:[tex]АМ^{2} = CM^{2} + AC^{2} \Rightarrow AM = \sqrt{(\frac{8}{3})^{2} + 8^{2}}[/tex] или [tex]АМ = \frac{8\sqrt{10}}{3}[/tex]