Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Имаме [tex]\Delta[/tex]ABC с прав ъгъл при върха C. CD[tex]\bot[/tex] AB и радиусите на вписаните окръжности в [tex]\Delta[/tex]ADC,[tex]\Delta[/tex]BDC и [tex]\Delta[/tex]ABC са съответно r1, r2 и r. Трябва да се докаже равенството hc(височината към хипотенузата)=r1+r2+r. Мерси предварително!

[math10.com]

[tex]BC=a,AC=b,AB=c,CD=h,BD=a_1,BD=b_1[/tex]
[tex]r=p_{ABC}-AB=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{a+b-c}{2}[/tex]
[tex]r_1=p_{ADC}-AC=\frac{AD+CD-AC}{2}=\frac{h+b_1-b}{2}[/tex]
[tex]r=p_{BDC}-BC=\frac{CD+BD-BC}{2}=\frac{a_1+h-a}{2}[/tex]
[tex]=>r+r_1+r_2=\frac{a+b-c}{2}+\frac{h+b_1-b}{2}+\frac{a_1+h-a}{2}=\frac{2h+a_1+b_1-c}{2}=h[/tex]