Геометрия

[Гост]

1)Висоината и ъглополовящата към хипотенузата на правоъгълен ▲ имат дължини съответно 3 и 4см. S▲=? Отговор 72 см
2)P na pravougulen ▲=36 sm а допирна тока на вписаната му окръжност и хипотенузата дели хипотенузата в отношение 2 към 3.Намерете хипотенузата на ▲ Отговор 15см
Задаите са с Питагоровата теорема и благодаря предварително

[ева]

1 зад. Нека CH,CL са височина и ъглопол.към хипотенузата.
Означаваме-АН=х,BL=у,АС=в,ВС=а
[tex]\frac{3}{х}[/tex]=tg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{a}{в}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] х=[tex]\frac{3в}{а}[/tex] (1)
[tex]\triangle[/tex]HLC-правоъг. [tex]HL^{2}[/tex]+9=16 [tex]\Rightarrow[/tex]HL=[tex]\sqrt{7}[/tex]см.

[tex]\frac{в}{а}[/tex]=tg[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3}{у+\sqrt{7}}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]у=[tex]\frac{3а-в\sqrt{7}}{в}[/tex] (2)

CL-ъглопол. [tex]\frac{AL}{BL}[/tex]=[tex]\frac{AC}{BC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\frac{х+\sqrt{7}}{у}[/tex]=[tex]\frac{в}{а}[/tex] (3)

[tex]\triangle[/tex]НВС-правоъг. [tex]НС^{2}[/tex]+[tex]ВН^{2}[/tex]=[tex]ВС^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]9+[tex](у+\sqrt{7})^{2}[/tex]=[tex]а^{2}[/tex] (4) решаваме с-та от 4 ур-я
[tex]\begin{array}{|l} х=\frac{3в}{а}\\ у=\frac{3а-в\sqrt{7}}{в}\end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} аx + \sqrt{7}а=ву \\ 9+у^{2}+2\sqrt{7}у+7-а^{2}=0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} а\frac{3в}{а}+\sqrt{7}а-в\frac{3а-в\sqrt{7}}{в}=0\\ \frac{(3а-в\sqrt{7})^{2}}{в^{2}}+16+\frac{2\sqrt{7}(3а-в\sqrt{7})}{в}а^{2}=0\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} в=\frac{(3-\sqrt{7})а}{3+\sqrt{7}}\\ 9а^{2}-6\sqrt{7} ав+7в^{2}+16в^{2}+6\sqrt{7}ав-14в^{2}-а^{2}в^{2}=0\end{array}[/tex] ...

а=12[tex]\sqrt{8+\sqrt{63}}[/tex] см. ;в=12(8-[tex]\sqrt{63})\sqrt{8+\sqrt{63}}[/tex] см.

S=[tex]\frac{12\sqrt{8+\sqrt{63}}12(8-\sqrt{63})\sqrt{8+\sqrt{63}}}{2}[/tex]=72(8+[tex]\sqrt{63}[/tex])(8-[tex]\sqrt{63}[/tex])=72(64-63)=72
отг.72[tex]см^{2}[/tex]

[Davids]

Значи не съм единственият, който гледa форума в 5:40 на Коледа

[ева]

2 зад. Нека окр.допира АВ,ВС,АС в т.Н,т.М,т.Т
СТ=СМ=х;АН=АТ=[tex]\frac{2с}{5}[/tex];ВН=ВМ=[tex]\frac{3с}{5}[/tex]
2х+2.[tex]\frac{2с}{5}[/tex]+2.[tex]\frac{3с}{5}[/tex]=36
[tex]\triangle[/tex]АВС-правоъг. [tex](\frac{2с}{5}+х)^{2}[/tex]+[tex](\frac{3с}{5}+х)^{2}[/tex]=[tex]с^{2}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} х=18-с\\ 4с^{2}+20сх+25x^{2} +9с^{2}+30сх+25x^{2}=25с^{2}\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x=18-с \\ 6с^{2} -25x^{2}-25сх=0\end{array}[/tex]
6[tex]с^{2}[/tex]-25[tex](18-с)^{2}-25с(18-с)=0[/tex] ...
[tex]с^{2}[/tex]+75с-1350=0 / D=5 625+5 400=11 025=[tex]105^{2}[/tex]

[tex]с_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-75\pm105}{2}[/tex] [tex]с_{1 }[/tex]=15;[tex]с_{2 }[/tex]=-90 отпада
отг.15см.

[Евва]

1 зад. (2 начин)
Нека [tex]\angle[/tex]САВ=[tex]\alpha[/tex] и СМ ,СН са съответно медиана ,височина в [tex]\triangle[/tex]АВС .
([tex]\triangle[/tex]ALC) [tex]\angle[/tex]ALC+[tex]\angle[/tex]CAL+[tex]\angle[/tex]ACL=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]ALC+[tex]\alpha[/tex]+45[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]ALC=135[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]HLC) [tex]\angle[/tex]HCL+[tex]\angle[/tex]HLC+[tex]\angle[/tex]CHL=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]HCL+135[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]HCL=[tex]\alpha[/tex]-45[tex]^\circ[/tex]

([tex]\triangle[/tex]HLC-правоъгълен) cos([tex]\alpha[/tex]-45[tex]^\circ[/tex])=[tex]\frac{3}{4}[/tex] ; [tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex]
2[tex]\sqrt{2}[/tex](cos[tex]\alpha[/tex]+sin[tex]\alpha[/tex])=3
8([tex]cos^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]+[tex]sin^{2 }[/tex][tex]\alpha[/tex]+2.sin[tex]\alpha[/tex].cos[tex]\alpha[/tex])=9 ; 8(1+sin 2[tex]\alpha[/tex])=9 ;; sin(2[tex]\alpha[/tex])=[tex]\frac{1}{8}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]АВС е правоъг. [tex]\Rightarrow[/tex] АМ=СМ т.е. [tex]\triangle[/tex]АМС е равнобедрен ,тогава [tex]\angle[/tex]АСМ=[tex]\angle[/tex]САМ=[tex]\alpha[/tex] ,намираме [tex]\angle[/tex]АМС=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]НМС-правоъг.) sin[tex]\angle[/tex]HMC=[tex]\frac{HC}{MC}[/tex] ; sin(180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\alpha[/tex])=[tex]\frac{3}{ \frac{AB}{2} }[/tex] ; sin(2[tex]\alpha[/tex])=[tex]\frac{6}{AB}[/tex] (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{8}[/tex]=[tex]\frac{6}{АВ}[/tex] т.е. АВ=48 см.

[tex]S_{ABC }[/tex]= [tex]\frac{AB.CH}{2}[/tex]=[tex]\frac{48.3}{2}[/tex]=72 [tex]см.^{2 }[/tex]