Задача #10 [ тригонометрични функции ]

[Гост]

Дадени са α и β - остри ъгли на правоъгълен триъгълни. Намерете sinα и cosα, ако sinα . consβ = 1/4

Благодаря предварително!!

[mail_dinko]

В правоъгълен триъгълник единият ъгъл е 90 градуса. Следователно сумата на другите два е 90 градуса. Сбор на ъгли в триъгълник=180 градуса
[tex]\alpha +\beta =90^\circ------>\fbox {\beta =90^\circ -\alpha }[/tex]
[tex]sin \alpha cos \beta = \frac14[/tex]
заместваме бета с това от правоъгълника
[tex]sin \alpha cos (90^\circ - \alpha ) = \frac14[/tex]
От четиризначни таблици и формули използваме
[tex]cos (90^\circ - \alpha )= sin \alpha[/tex]
Изразът добива вида
[tex]sin \alpha sin \alpha = \frac14[/tex]
[tex]sin ^2 \alpha = \frac14[/tex]
При коренуване получаваме положително число, т.к. в първи квадрант синусът има положителни стойности
[tex]sin ^2 \alpha =\sqrt { \frac14 }[/tex]
[tex]sin \alpha = \frac12[/tex]
[tex]sin^2 \alpha +cos ^2 \alpha =1---->cos^2 \alpha=1-sin ^2 \alpha--->\fbox {cos \alpha = \sqrt {1-sin^2 \alpha}}[/tex]
Като заместиш и сметнеш става:
[tex]cos \alpha = \frac {\sqrt {3}}{2}[/tex]
От написаното до сега следва, че алфа е 30 градуса, бета е 60