Алгебричен метод за решаване на задачи за построение

[Гост]

1) Постройте правоъгълен триъгълник по дадени ъглополовяща L към хипотенузата и сбор на катетите s.
2) Постройте правоъгълен триъгълник по дадени хипотенуза c и сбор на катетите s.
3) През две дадени точки, нележащи на дадена права, постройте окръжност така, че тя да отсича от правата хорда, равна на дадената отсечка.

[S.B.]

Зад.1:
Дадено: отсечка s и отсечка l;
Да се построи: [tex]\triangle[/tex]АBC,[tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex],с катети a и b,така,че a + b = s и l - ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]C:
Анализ:Нека допуснем,че [tex]\triangle[/tex]ABC е търсения триъгълник:[tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex],AC + BC = s ,CL = l е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]C;Продължаваме правата AC до т.M,така,че CM = BM или АC + CM = AM = s;[tex]\triangle[/tex]CMB е равнобедрен правоъгълен [tex]\Rightarrow[/tex][tex]\angle[/tex]CMB = 45[tex]^\circ[/tex] и MB II CL,тъй като CL е ъглополовяща на [tex]\angle[/tex]C и [tex]\angle[/tex]LCB = [tex]45^\circ[/tex]
[tex]\triangle ALC \approx \triangle ABM \Rightarrow \frac{AM}{AC} = \frac{BM}{CL}[/tex]; Нека BC = CM = x ,тогава от [tex]\triangle[/tex]BCM BM = x[tex]\sqrt{2}[/tex] , AC = s - x ,CL = l (по условие) и тогава: [tex]\frac{s}{s - x} = \frac{x\sqrt{2}}{l} \Leftrightarrow x\sqrt{2}(s - x) = l.s \Leftrightarrow x^{2} - s\sqrt{2}.x + l.s = 0[/tex]
D = 2s(s - 2l) [tex]\ge[/tex] 0;
D>0 ако s и l са такива,че s>2l - тогава ще има 2 решения;D=0 ако s = 2l - тогава ще има 1 решение;Ако s<2l задачата няма решение;
[tex]x_{1 } = \frac{s\sqrt{2} + \sqrt{D}}{2}[/tex] , [tex]x_{2 } = \frac{s\sqrt{2} - \sqrt{D}}{2}[/tex]
Построение:
1) отсечка t = s[tex]\sqrt{2}[/tex] - това е диагоналът на квадрат със страна = s;
2) отсечка [tex]\sqrt{D}[/tex] - тя е средно геометрична на отс.2s и отс.(s - 2l);Ako 2s = PH и s - 2l = HQ ,построява се окръжност k с диаметър = PH + HQ ; HN[tex]\bot[/tex],HN[tex]\cap[/tex]k в т. N и HN = [tex]\sqrt{D}[/tex]
3)[tex]x_{1 } = \frac{t + HN}{2}[/tex] и [tex]x_{2 } = \frac{t - HN}{2}[/tex] за t>HN
4)Катета AC = s - [tex]x_{1 }[/tex] ,катета BC = [tex]x_{1 }[/tex] ( Аналогично за [tex]x_{2 }[/tex] ако t>HN)
5)Построяване [tex]\triangle[/tex]ABC по получените катети и [tex]\angle[/tex]C = 90[tex]^\circ[/tex]
Изследване: Задачата има 1,2 или 0 решения:
За s < 2l няма решение
За s = 2l ,x = [tex]\frac{s\sqrt{2}}{2}[/tex]
За s > 2l и t>HN - 2 решения, за s>2l и t < HN - 1 решение

[pal702004]

За s < 2l няма решение

По скоро за $s\le 2\sqrt 2l$ няма решение, понеже

$l_c=\sqrt 2\frac{ab}{a+b}$, а $a+b\ge \frac{4ab}{a+b}$

Така или иначе и при двете задачи е лесно да се построи отсечка с дължина $2\sqrt{ab}$ (или $\sqrt{2ab}$), което на практика ги решава.

[S.B.]

Зад.2:
Дадено:2 отсечки с дължини [tex]c[/tex] и [tex]s[/tex];
Да се построи:[tex]\triangle[/tex]ABC ,[tex]\angle[/tex]C = [tex]90^\circ[/tex],хипотенузата AB = [tex]c[/tex] и AC + BC = [tex]s[/tex]
Анализ:Допускаме,че [tex]\triangle[/tex]АВС е търсеният АВ = [tex]c[/tex] и AC + BC = [tex]s[/tex] [tex]\Rightarrow c < s[/tex];Ако BC = x то AC = [tex]s[/tex] - x ;
По Питагор: [tex]BC^{2} + AC^{2} = AB^{2} \Rightarrow x^{2} + (s - x)^{2} = c^{2} \Leftrightarrow 2x^{2} - 2sx + (s^{2} - c^{2}) = 0[/tex]
[tex]D = 4s^{2} - 8(s^{2} - c^{2}) = 4(s^{2} - 2s^{2} + 2c^{2}) = 4(2c^{2} - s^{2})= 4(c\sqrt{2} + s)(c\sqrt{2} - s)[/tex]
За [tex]c\sqrt{2} < s[/tex] задачата няма решение;За [tex]c\sqrt{x} = s[/tex] има едно решение - х = [tex]\frac{s}{2}[/tex] и триъгълникът е равнобедрен;
[tex]x_{1 } = \frac{s + \sqrt{D}}{2}[/tex] , [tex]x_{2 } \frac{s - \sqrt{D}}{2}[/tex], като за [tex]x_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 }[/tex] трябва да е изпълнено :да бъдат положителни и по-малки от [tex]s[/tex];
Построение:
1)Построяваме [tex]\sqrt{D} = (c\sqrt{2}+ s)(c\sqrt{2} - s)[/tex]:
[tex]c\sqrt{2}[/tex] - това е диагоналът на квадрат със страна = [tex]c[/tex];[tex]\sqrt{D}[/tex] е средно геометрична на отсечките [tex]m = (c\sqrt{2} + s)[/tex] и [tex]n = (c\sqrt{2} - s)[/tex].Построява се окръжност с диаметър PТ = m + n ; Ако PQ = m и QT = n през т Q се построява
права QH[tex]\bot[/tex]PT,като т.H е пресечната точка на перпендикуляра с окръжността.[tex]QH = \sqrt{D}[/tex]
[tex]x_{1 } = \frac{s + QH}{2}[/tex] и [tex]x_{2 } = \frac{s - QH}{2}[/tex]
2)Построявне на [tex]\triangle[/tex]ABC: Построява се окръжност с диаметър АВ = с;Засича се върху окръжността т.С ,така че ВС = x
Задачата има 0,1 или 2 решения;

[pal702004]

адачата има 0,1 или 2 решения;

Това с двете решения не ми харесва. Задачата е построителна. Уравнението относително $x$, което си съставил може и да има две различни решения, но в построително отношение решението е едно. Единият катет е $x$, другият е $s-x$

И това, което имах предвид за задачите:

Построяваме пр. тр. с хипотенуза $a+b$ и катет $\sqrt{a^2+b^2}$, другият катет е $\sqrt{2ab}$

Построяваме (ако е възможно) пр.тр. с хипотенуза $\sqrt{a^2+b^2}$ и катет $\sqrt{2ab}$, другият ще е $a-b$

Отлагаме го на отсечката $a+b$, получаваме $2b$ и т.н

[pal702004]

По простият начин за решаването на 2-ра задача е да се построи $\triangle AKB$, на който:
$AK=s$
$\angle K=45^{o}$
$AB=c$

(в този ред никакви проблеми с построяването, ако е възможно)

Спускаме височината $BC$ и $\triangle ABC$ е търсеният, защото:
1. е правоъгълен с хипотенуза $c$
2. $AC+CB=AC+CK=s$

[S.B.]

По простият начин за решаването на 2-ра задача е да се построи $\triangle AKB$, на който:
$AK=s$
$\angle K=45^{o}$
$AB=c$

(в този ред никакви проблеми с построяването, ако е възможно)

Спускаме височината $BC$ и $\triangle ABC$ е търсеният, защото:
1. е правоъгълен с хипотенуза $c$
2. $AC+CB=AC+CK=s$

Построението е възможно.Защо да не бъде възможно?Трябва да се построи отс.АВ = с,така,че да се вижда под ъгъл = [tex]45^\circ[/tex]:
1) Построявам отс. AB = c
2) Построявам лъч AL,така,че [tex]\angle[/tex]BAL = 45[tex]^\circ[/tex]
3)Построявам [tex]S_{AB }[/tex] - симетралата на AB
4)Построявам права t[tex]\bot[/tex]AL
5) t[tex]\cap[/tex][tex]S_{AB }[/tex] = т.О
6)Построявам окр. k(O,r=AO)
[tex]\angle[/tex]BAL е периферен и се измерва с [tex]\frac{1}{2}[/tex] от дъгата AB;
т. К ще принадлежи на противоположната дъга [tex]\overline{AB}[/tex] , [tex]\angle[/tex]AKB ще бъде вписан и ще се измерва също с [tex]\frac{д.AB}{2}[/tex] = 45[tex]^\circ[/tex]
7)От точка А с разтвор на пергела = s засичам т.K върху дъгата [tex]\overline{AB}[/tex]
8)Построявам [tex]\triangle[/tex]ABK ([tex]\angle[/tex]AKB = 45[tex]^\circ[/tex],AB = c и AK = s)
9)Построявам BC[tex]\bot[/tex]AK
[tex]\triangle[/tex]BKC е правоъгълен ,равнобедрен и BC = CK;
От AC + CK = s и BC = CK [tex]\Rightarrow[/tex] AC + BC = s
____________________________________________________
Да,но задчата е поставена по заглавие:"Алгебричен метод за решаване на задачи за построение", а не просто "Постройте ...."

[pal702004]

Построението няма да бъде възможно, ако не е изпълнено условието, което сам си написал:

$c<s\le \sqrt 2 c$

окръжността няма да може да се пресече с нужната права...това имах предвид под "ако е възможно".