3 задачи по матенатика за 9 клас

[Гост]

Здравейте. Изобщо не съм добре с математиката и ви моля за помощ за тези задачи. Умолявам също да са с подробни решения

П.п.: Задачите са оградените (т.е 2ра, 6та, и 7ма)

[ammornil]

За съжаление не мога да предложа чертежи. Решенията могат да имат следния вид:

зад.6)
[tex]AB=10 \hspace{5} cm, tg \angle CAB=\frac{12}{5} \\
\vspace{12} \\
S_{_{\Delta ABC}}=? \\
\vspace{12} \\
c=10 \hspace{5} cm, \\
tg \angle CAB=\frac{2.h_{_{c}}}{c} \Rightarrow h_{_{c}}=\frac{c.tg \angle CAB}{2}=\frac{10.12}{2.5}=12 \hspace{5} cm \\
S_{_{\Delta ABC}}=\frac{c.h_{_{c}}}{2}=\frac{10.12}{2}=60 \hspace{5} cm^{^{2}}[/tex]

б)
[tex]AB=10 \hspace{5} cm, cos \angle CAB=\frac{5}{13} \\
\vspace{12} \\
S_{_{\Delta ABC}}=? \\
\vspace{12} \\
c=10 \hspace{5} cm, \\
\angle CAB \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \Rightarrow sin \angle CAB>0 \\
sin \angle CAB=\sqrt{1-cos^{^{2}} \angle CAB}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13} \\
tg \angle CAB=\frac{sin \angle CAB}{cos \angle CAB}=\frac{12}{5} \hspace{12} ...[/tex]
Това е точно условието на подточка а).

зад.7)
[tex]AB=12 \hspace{5} cm, cos \angle CAB=\frac{1}{2} \\
\vspace{12} \\
S_{_{\Delta ABC}}=? \\
\vspace{12} \\
c=12 \hspace{5} cm, \\
\angle CAB \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right) \Rightarrow sin \angle CAB>0 \\
sin \angle CAB=\sqrt{1-cos^{^{2}} \angle CAB}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
tg \angle CAB=\frac{sin \angle CAB}{cos \angle CAB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3} \\
tg \angle CAB=\frac{2.h_{_{c}}}{c} \Rightarrow h_{_{c}}=\frac{c.tg \angle CAB}{2}=\frac{12.\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} \hspace{5} cm \\
S_{_{\Delta ABC}}=\frac{c.h_{_{c}}}{2}=\frac{12.6\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3} \hspace{5} cm^{^{2}}[/tex]

Разбира се можехме да кажем, че даденият косинус е на ъгъл 30 градуса и направо да запишем колко е тангенса, но аз предпочетох да дам по-общо решение.

[ammornil]

зад.2)
(a)
[tex]1-sin^{2} \alpha+cotg^{2} \alpha . sin^{2} \alpha=cos^{2} \alpha+\frac{cos^{2} \alpha}{\cancel{sin^{2} \alpha}}{\cancel{sin^{2} \alpha}}=2.cos^{2} \alpha[/tex]
(б)
[tex](1+tg^{2} \alpha).cos^{2} \alpha=\left( 1+\frac{sin^{2} \alpha}{cos^{2} \alpha} \right) .cos^{2} \alpha=\frac{cos^{2} \alpha +sin^{2} \alpha}{\cancel{cos^{2} \alpha}}.\cancel{cos^{2} \alpha}=1[/tex]
(в)
[tex]cos^{2} \alpha-cos^{4}\alpha+sin^{4}\alpha=cos^{2}\alpha-(cos^4\alpha-sin^4\alpha)=cos^{2}\alpha-(cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha).(cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha)=\\
=cos^{2}\alpha-(cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha).1=cos^{2}\alpha-cos^{2}\alpha+sin^{2}\alpha=sin^{2}\alpha[/tex]

За следващите подточки се прилагат формули, които не си спомням а нямам четиризначни таблици. Ако никой не предложи решение ще се пробвам да напиша решение утре.