Параметрично у-е

[Гост]

Здравейте!
Малко помощ със следната задача:
За кои стойности на реалния параметър k корените на у-то (k^2-1)x^2-2(4k^2-5k+1)x+1=0 са реални противоположни числа?

[Гост]

Здравейте!
Малко помощ със следната задача:
За кои стойности на реалния параметър k корените на у-то [tex](k^2-1)x^2-2(4k^2-5k+1)x+1=0[/tex]са реални противоположни числа?

[Добромир Глухаров]

Нека имаме уравнението [tex]ax^2+2bx+c=0[/tex]. За да бъдат корените му реални, трябва неговата съкратената дискриминанта [tex]D_1=b^2-ac[/tex] да бъде неотрицателна. Корените са [tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D_1}}{a}[/tex]. За да бъдат те противоположни, трябва [tex]b=0[/tex]. В нашия случай:
4k^2-5k+1=0
[tex]D=(-5)^2-4.4.1=25-16=9[/tex]
[tex]\Rightarrow k_{1,2}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{9}}{2.4}=\frac{5\pm 3}{8}=1;\frac{1}{4}[/tex]
[tex]D_1=(4k^2-5k+1)^2-(k^2-1).1[/tex]. За [tex]k=1\Rightarrow D_1=0-(1^2-1)=0\ge 0\ x_1=x_2=0[/tex]. Нулата е противоположна сама на себе си, следователно [tex]k=1[/tex] е решение. За [tex]k=\frac{1}{4}\Rightarrow D_1=0-\(\(\frac{1}{4}\)^2-1\)=\frac{15}{16}\ge 0\ x_1=\frac{0+\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{15}{16}}=-\frac{4\sqrt{15}}{15};\ x_2=\frac{0-\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{15}{16}}=\frac{4\sqrt{15}}{15}[/tex]. Следователно и [tex]k=\frac{1}{4}[/tex] е решение.

Разбира се, някой може да възрази, че [tex]0[/tex] и [tex]0[/tex] не са противоположни числа и [tex]k=1[/tex] следва да отпадне като решение. Няма да споря, нищо чудно да е прав .

[math10.com]

Да аз ще възразя и то за две неща.
1-во Нулата няма знак, съответно няма противоположно число.
2-ро При [tex]k=1[/tex] уравнението няма корени [tex]0.x^2+[/tex][tex]0.x+1[/tex][tex]=0[/tex]
В условието се търсят 2 противоположни корена , т.е. уравнението следва да е от 2-ра степен.От това условие следва [tex]k^2-1\ne 0 ; k\ne \pm 1[/tex]

[Добромир Глухаров]

Благодаря, math10.com. Съвсем прав си .