Меню
x^2 + 2(m+1)x + 4m = 0
В кои случаи уравнението има:
a) два отрицателни корена
б) два положителни корена
в) два корена с различни знаци
(Задачата се решева по горе-долу този начин, но не знам точно как: а) при D >/= 0 , -b/a <0 , c/a>0 (формули на Виет)
Регистрация не е нужна, освен при създаване на тема в "Задача на седмицата".
Квадратни уравнения - два отрицателни корена
9 мнения
• Страница 1 от 1
Re: Задача по математика за 9 клас (Квадратни уравнения)
от ammornil » 30 Окт 2013, 19:42
Задачи от този тип се решават като се изследват дискриминантата на квадратния тричлен и корените му, посредством формули на Виет. Кое какво ни говори:
Дискриминантата:
[tex]D<0 \Rightarrow \text{тричленът никога не приема стойност 0. В този случай, ако}:\\
\hspace{24}(а) \text{знакът пред втората степен е минус то графиката на тричлена}\\
\hspace{24}\text{се намира под остта} Ox (\forall x \rightarrow f(x)>0).\\
\hspace{24}(б) \text{знакът пред втората степен е плюс, то графиката на тричлена}\\
\hspace{24}\text{се намира под остта} Ox. (\forall x \rightarrow f(x)<0).\\
\vspace{12} \\
D=0 \Rightarrow x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a} - \text{два еднакви корена} \\
\vspace{12} \\
D>0 \Rightarrow x_{1} \ne x_{2}, x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} -\text{два различни корена}[/tex]
Ако дискриминантата е положителна, имаме два различни корена.
Нека [tex]x_1<x_2[/tex] (това означава, че [tex]\begin{array}{|l} x_{1}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \end{array}[/tex]).
Тогава знаците на корените (нулите, решенията) на квадратния тричлен могат да се определят чрез формули на Виет:
[tex](1) \hspace{12} \begin{array}{|l} \frac{-b}{a}<0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x_1<0 \\ x_{2}>0 \\|x_1|>|x_2| \end{array}[/tex], или казано с думи: корените имат различни знаци и отрицателният е по-голям по модул.
[tex](2) \hspace{12} \begin{array}{|l} \frac{-b}{a}<0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_1<0 \\ x_{2}<0 \end{array}[/tex], или казано с думи: корените имат еднакви, отрицателни знаци.
[tex](3) \hspace{12} \begin{array}{|l} \frac{-b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_1<0 \\ x_{2}>0 \\|x_1|<|x_2| \end{array}[/tex], или казано с думи: корените имат различни знаци и положителният е по-голям по модул.
[tex](4) \hspace{12} \begin{array}{|l} \frac{-b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_1>0 \\ x_{2}>0 \end{array}[/tex], или казано с думи: корените имат еднакви, положителни знаци.
---
Ако само се иска корените да са с еднакви знаци (без значение какви), трябва да е изпълнена системата: [tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array}[/tex].
Ако само се иска корените да са с различни знаци (без значение какви), трябва да е изпълнена системата: [tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ \frac{c}{a}<0\end{array}[/tex].
Дискриминантата:
[tex]D<0 \Rightarrow \text{тричленът никога не приема стойност 0. В този случай, ако}:\\
\hspace{24}(а) \text{знакът пред втората степен е минус то графиката на тричлена}\\
\hspace{24}\text{се намира под остта} Ox (\forall x \rightarrow f(x)>0).\\
\hspace{24}(б) \text{знакът пред втората степен е плюс, то графиката на тричлена}\\
\hspace{24}\text{се намира под остта} Ox. (\forall x \rightarrow f(x)<0).\\
\vspace{12} \\
D=0 \Rightarrow x_{1}=x_{2}=\frac{-b}{2a} - \text{два еднакви корена} \\
\vspace{12} \\
D>0 \Rightarrow x_{1} \ne x_{2}, x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} -\text{два различни корена}[/tex]
Ако дискриминантата е положителна, имаме два различни корена.
Нека [tex]x_1<x_2[/tex] (това означава, че [tex]\begin{array}{|l} x_{1}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \end{array}[/tex]).
Тогава знаците на корените (нулите, решенията) на квадратния тричлен могат да се определят чрез формули на Виет:
[tex](1) \hspace{12} \begin{array}{|l} \frac{-b}{a}<0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} x_1<0 \\ x_{2}>0 \\|x_1|>|x_2| \end{array}[/tex], или казано с думи: корените имат различни знаци и отрицателният е по-голям по модул.
[tex](2) \hspace{12} \begin{array}{|l} \frac{-b}{a}<0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_1<0 \\ x_{2}<0 \end{array}[/tex], или казано с думи: корените имат еднакви, отрицателни знаци.
[tex](3) \hspace{12} \begin{array}{|l} \frac{-b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_1<0 \\ x_{2}>0 \\|x_1|<|x_2| \end{array}[/tex], или казано с думи: корените имат различни знаци и положителният е по-голям по модул.
[tex](4) \hspace{12} \begin{array}{|l} \frac{-b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} x_1>0 \\ x_{2}>0 \end{array}[/tex], или казано с думи: корените имат еднакви, положителни знаци.
---
Ако само се иска корените да са с еднакви знаци (без значение какви), трябва да е изпълнена системата: [tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array}[/tex].
Ако само се иска корените да са с различни знаци (без значение какви), трябва да е изпълнена системата: [tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ \frac{c}{a}<0\end{array}[/tex].
[tex]\color{lightseagreen}\text{''Който никога не е правил грешка, никога не е опитвал нещо ново.''} \\
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
-
ammornil - Математик
- Мнения: 3768
- Регистриран на: 25 Май 2010, 19:28
- Местоположение: Великобритания
- Рейтинг: 1780
Re: Задача по математика за 9 клас (Квадратни уравнения)
от ammornil » 30 Окт 2013, 20:23
В контекста на предходния пост, ето как се решава поставената задача:
x^2 + 2(m+1)x + 4m = 0
В кои случаи уравнението има:
a) два отрицателни корена
б) два положителни корена
в) два корена с различни знаци
=--
a) За да има два корена дискриминантата трябва да бъде положителна или 0.За да са отрицателни трябва да е изпълнено условие (2). Записано в система това изглежда така:
[tex]\begin{array}{|l}D\ge0 \\ \frac{-b}{a}<0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array}[/tex]
В случая а=1, b=2(m+1), c=4m.
В случая дискриминантата може да се пресметне по съкратена фомула: [tex]D=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-a.c[/tex]
Заместваме с коефициентите от дадената задача и получаваме:
[tex]\begin{array}{|l} (m+1)^2-4m.1\ge0 \\ \frac{-2(m+1)}{1}<0 \\ \frac{4m}{1}>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2+2m+1-4m\ge0 \\ -(m+1)<0 \\ 4m>0\end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2-2m+1\ge0 \\ -m-1<0 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} (m-1)^2\ge0 \\ -m<1 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \forall m \in R \\ m>-1 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow m \in (0; +\infty)[/tex]
-----------------------------
б) За да има два корена дискриминантата трябва да бъде положителна или 0.За да са положителни трябва да е изпълнено условие (4). Записано в система това изглежда така:
[tex]\begin{array}{|l}D\ge0 \\ \frac{-b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}>0\end{array}[/tex]
В случая а=1, b=2(m+1), c=4m.
В случая дискриминантата може да се пресметне по съкратена фомула: [tex]D=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-a.c[/tex]
Заместваме с коефициентите от дадената задача и получаваме:
[tex]\begin{array}{|l} (m+1)^2-4m.1\ge0 \\ \frac{-2(m+1)}{1}>0 \\ \frac{4m}{1}>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2+2m+1-4m\ge0 \\ -(m+1)>0 \\ 4m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2-2m+1\ge0 \\ -m-1>0 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} (m-1)^2\ge0 \\ -m>1 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \forall m \in R \\ m<-1 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow m \in \oslash[/tex]
Няма такова число, което да е едновременно по-голямо от 0 и по-малко от -1.
-----------------------------
в)Трябва да е изпълнено или условие (1) или условие (3). Вместо това разглеждане една обща, съкратена система ( това е един от случаите, които посочих най-накрая в поста си горе.)
[tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2+2m+1-4m\ge0 \\ \frac{4m}{1}<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2-2m+1\ge0 \\ 4m<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} (m-1)^2\ge0 \\ m<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \forall m \in R \\ m<0 \end{array} \Rightarrow m \in (-\infty; 0)[/tex]
x^2 + 2(m+1)x + 4m = 0
В кои случаи уравнението има:
a) два отрицателни корена
б) два положителни корена
в) два корена с различни знаци
=--
a) За да има два корена дискриминантата трябва да бъде положителна или 0.За да са отрицателни трябва да е изпълнено условие (2). Записано в система това изглежда така:
[tex]\begin{array}{|l}D\ge0 \\ \frac{-b}{a}<0 \\ \frac{c}{a}>0 \end{array}[/tex]
В случая а=1, b=2(m+1), c=4m.
В случая дискриминантата може да се пресметне по съкратена фомула: [tex]D=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-a.c[/tex]
Заместваме с коефициентите от дадената задача и получаваме:
[tex]\begin{array}{|l} (m+1)^2-4m.1\ge0 \\ \frac{-2(m+1)}{1}<0 \\ \frac{4m}{1}>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2+2m+1-4m\ge0 \\ -(m+1)<0 \\ 4m>0\end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2-2m+1\ge0 \\ -m-1<0 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} (m-1)^2\ge0 \\ -m<1 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \forall m \in R \\ m>-1 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow m \in (0; +\infty)[/tex]
-----------------------------
б) За да има два корена дискриминантата трябва да бъде положителна или 0.За да са положителни трябва да е изпълнено условие (4). Записано в система това изглежда така:
[tex]\begin{array}{|l}D\ge0 \\ \frac{-b}{a}>0 \\ \frac{c}{a}>0\end{array}[/tex]
В случая а=1, b=2(m+1), c=4m.
В случая дискриминантата може да се пресметне по съкратена фомула: [tex]D=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-a.c[/tex]
Заместваме с коефициентите от дадената задача и получаваме:
[tex]\begin{array}{|l} (m+1)^2-4m.1\ge0 \\ \frac{-2(m+1)}{1}>0 \\ \frac{4m}{1}>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2+2m+1-4m\ge0 \\ -(m+1)>0 \\ 4m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2-2m+1\ge0 \\ -m-1>0 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} (m-1)^2\ge0 \\ -m>1 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \forall m \in R \\ m<-1 \\ m>0 \end{array} \Rightarrow m \in \oslash[/tex]
Няма такова число, което да е едновременно по-голямо от 0 и по-малко от -1.
-----------------------------
в)Трябва да е изпълнено или условие (1) или условие (3). Вместо това разглеждане една обща, съкратена система ( това е един от случаите, които посочих най-накрая в поста си горе.)
[tex]\begin{array}{|l} D\ge0 \\ \frac{c}{a}<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2+2m+1-4m\ge0 \\ \frac{4m}{1}<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} m^2-2m+1\ge0 \\ 4m<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} (m-1)^2\ge0 \\ m<0 \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} \forall m \in R \\ m<0 \end{array} \Rightarrow m \in (-\infty; 0)[/tex]
[tex]\color{lightseagreen}\text{''Който никога не е правил грешка, никога не е опитвал нещо ново.''} \\
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
-
ammornil - Математик
- Мнения: 3768
- Регистриран на: 25 Май 2010, 19:28
- Местоположение: Великобритания
- Рейтинг: 1780
Re: Задача по математика за 9 клас (Квадратни уравнения)
от pal702004 » 30 Окт 2013, 23:24
В контекста на първият пост. Дискриминантата е неотрицателна, защото е равна на [tex](m-1)^2[/tex]
По формулите на Виет
[tex]\\x_1x_2=4m\\
x_1+x_2=-2(m+1)[/tex]
Значи, ако [tex]m<0[/tex] корените са с различен знак.
Ако [tex]m>0[/tex] то и [tex]m+1>0[/tex], следователно и двата корена ще са отрицателни.
По формулите на Виет
[tex]\\x_1x_2=4m\\
x_1+x_2=-2(m+1)[/tex]
Значи, ако [tex]m<0[/tex] корените са с различен знак.
Ако [tex]m>0[/tex] то и [tex]m+1>0[/tex], следователно и двата корена ще са отрицателни.
Re: Задача по математика за 9 клас (Квадратни уравнения)
от math10.com » 31 Окт 2013, 00:50
Нека направим същата задача малко по-трудна.
За кои стойности на параметъра [tex]m[/tex] уравнението [tex]x^2+2(m+1)x+4m=0[/tex] има:
а) Два корена по-малки от минус едно
б) Два корена по-големи от едно
в) Два корена единият по-голям от едно , а другия по-малък от минус едно
За кои стойности на параметъра [tex]m[/tex] уравнението [tex]x^2+2(m+1)x+4m=0[/tex] има:
а) Два корена по-малки от минус едно
б) Два корена по-големи от едно
в) Два корена единият по-голям от едно , а другия по-малък от минус едно
- math10.com
- Математиката ми е страст
- Мнения: 764
- Регистриран на: 29 Апр 2013, 22:24
- Рейтинг: 815
Re: Задача по математика за 9 клас (Квадратни уравнения)
от Гост » 01 Ное 2013, 08:13
math10.com написа:Нека направим същата задача малко по-трудна.
За кои стойности на параметъра [tex]m[/tex] уравнението [tex]x^2+2(m+1)x+4m=0[/tex] има:
а) Два корена по-малки от минус едно
б) Два корена по-големи от едно
в) Два корена единият по-голям от едно , а другия по-малък от минус едно
[tex]D=(m+1)^2-4m=(m-1)^2[/tex]
[tex]x_{1}=(-(m+1)-(m-1))=-2m, x_{2}=-(m+1)+(m-1)=-2[/tex]
а) Единия корен (-2) е по-малък от -1 за всяко m, За [tex]-2m<-1, m>1/2[/tex]. Taка отговор на а) m>1/2.
б) няма решение.
в) понеже -2<-1, търсим кога -2m>1, което е вярно при m<-1/2.
- Гост
Re: Задача по математика за 9 клас (Квадратни уравнения)
от math10.com » 01 Ное 2013, 13:56
Гост написа:math10.com написа:Нека направим същата задача малко по-трудна.
За кои стойности на параметъра [tex]m[/tex] уравнението [tex]x^2+2(m+1)x+4m=0[/tex] има:
а) Два корена по-малки от минус едно
б) Два корена по-големи от едно
в) Два корена единият по-голям от едно , а другия по-малък от минус едно
[tex]D=(m+1)^2-4m=(m-1)^2[/tex]
[tex]x_{1}=(-(m+1)-(m-1))=-2m, x_{2}=-(m+1)+(m-1)=-2[/tex]
а) Единия корен (-2) е по-малък от -1 за всяко m, За [tex]-2m<-1, m>1/2[/tex]. Taка отговор на а) m>1/2.
б) няма решение.
в) понеже -2<-1, търсим кога -2m>1, което е вярно при m<-1/2.
Ето един типичен пример на лека задача, на която се допускат грешки.Търсим два корена ,което ще рече дискриминантата по-голяма от нула.Един нищожен пропуск ([tex]m\ne 1[/tex]) и загубена важна точка
- math10.com
- Математиката ми е страст
- Мнения: 764
- Регистриран на: 29 Апр 2013, 22:24
- Рейтинг: 815
Re: Задача по математика за 9 клас (Квадратни уравнения)
от ammornil » 01 Ное 2013, 18:50
Не съм много вещ в тия неща но след като [tex]D=(m-1)^2[/tex] не следва ли, че [tex]\sqrt{D}=|m-1|[/tex]?
[tex]\color{lightseagreen}\text{''Който никога не е правил грешка, никога не е опитвал нещо ново.''} \\
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
\hspace{21em}\text{(Алберт Айнщайн)}[/tex]
-
ammornil - Математик
- Мнения: 3768
- Регистриран на: 25 Май 2010, 19:28
- Местоположение: Великобритания
- Рейтинг: 1780
Re: Задача по математика за 9 клас (Квадратни уравнения)
от pal702004 » 02 Ное 2013, 12:56
Напълно си прав. Задачата формално не е решена правилно, макар отговорът да е верен.Най-простият начин е като се запише уравнението [tex](x+2)(x+2m)=0[/tex] - без въпроси и без варианти.ammornil написа:Не съм много вещ в тия неща но след като [tex]D=(m-1)^2[/tex] не следва ли, че [tex]\sqrt{D}=|m-1|[/tex]?
За такова твърдение наистина ще отнемат точки.Търсим два корена ,което ще рече дискриминантата по-голяма от нула.
9 мнения
• Страница 1 от 1
Кой е на линия
Регистрирани потребители: Google [Bot]