Рационални уравнения

[Гост]

16x(x+1)(x+2)(x+3)=9
Мерси предварително

[Добромир Глухаров]

[tex]16x(x+1)(x+2)(x+3)=9[/tex]

Полагаме [tex]x+1,5=u[/tex]

[tex]16(u-1,5)(u-0,5)(u+0,5)(u+1,5)=9\Leftrightarrow 16(u-1,5)(u+1,5)(u-0,5)(u+0,5)=9\Leftrightarrow \\ 16(u^2-2,25)(u^2-0,25)=9\Leftrightarrow 16u^4-40u^2+9=9\Leftrightarrow 8u^2(2u^2-5)=0\\u_{1,2}=0;\ u_{3,4}=\pm\sqrt{2,5}[/tex]

[tex]x_{1,2}=-1,5;\ x_{3,4}=-1,5\pm\sqrt{2,5}[/tex]

Забележка: Когато в уравнението имаме произведение от изрази, съдържащи неизвестното, които образуват аритметична прогресия, полагаме средното им аритметично на нова променлива. В горния случай [tex]u=\frac{x+(x+1)+(x+2)+(x+3)}{4}=\frac{4x+6}{4}=x+1,5[/tex]

Уравнението може да се реши и така:

[tex]2x(2x+2)(2x+4)(2x+6)=9;\ 2x+3=u\Leftrightarrow (u-3)(u-1)(u+1)(u+3)=0\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (u^2-9)(u^2-1)=9\Leftrightarrow u^4-10u^2+9=9\Leftrightarrow u^2(u^2-10)=0[/tex]

[tex]u_{1,2}=0;\ u_{3,4}=\pm\sqrt{10}[/tex]

[tex]x=\frac{u-3}{2}[/tex]

[tex]x_{1,2}=-\frac{3}{2}=-1,5;\ x_{3,4}=\frac{\pm\sqrt{10}-3}{2}=\pm\sqrt{\frac{10}{4}}-1,5=\pm\sqrt{2,5}-1,5[/tex]