Подобие и успоредник

[mail_dinko]

Даден е успоредникът ABCD, за който АВ>AD. През върха А са спуснати перпендикулярите АМ към ВС и АN към DC. Да се докаже: а) [tex]\frac{AM}{AN }[/tex]=[tex]\frac{AB}{AD }[/tex]; б) [tex]\Delta[/tex]MNA~[tex]\Delta[/tex]ACB.


Сега по отношение на а) имам следното предложение:
Означаваме [tex]\angle[/tex]DAB=[tex]\angle[/tex]DCB=[tex]\alpha[/tex] срещуположни в успоредник.
Означаваме [tex]\angle[/tex]ADC=[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex] срещуположни в успоредник.

Сбора на 2 ъгъла прилежащи на една и съща страна в успоредник е 180[tex]^\circ[/tex]; Сбора на два съседни ъгъла е 180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]NDA=[tex]\angle[/tex]MBA=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]=[tex]\alpha[/tex] (1)
а) Разглеждаме [tex]\Delta[/tex]MBA и [tex]\Delta[/tex]NDA:
1. [tex]\angle[/tex]AMB=[tex]\angle[/tex]AND=90[tex]^\circ[/tex] по условие
2. [tex]\angle[/tex]NDA=[tex]\angle[/tex]MBA=[tex]\alpha[/tex] доказано в (1)
==> Пъври признак. Пропорцията е: [tex]\frac{AB}{AD }=\frac{AM}{AN }=\frac{BM}{DN }[/tex] а) е готова.

НО б) не мога да я реша цялата. Ето тук ми трябва помощ.
Според мен трябва да се изпозва втори признак.
Разглеждаме [tex]\Delta[/tex]AMB: [tex]\angle[/tex]AMB=90[tex]^\circ[/tex]; [tex]\angle[/tex]ABM=[tex]\alpha[/tex] =>[tex]\angle[/tex]MAB=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta[/tex]AND: [tex]\angle[/tex]AND=90[tex]^\circ[/tex]; [tex]\angle[/tex]ADN=[tex]\alpha[/tex] =>[tex]\angle[/tex]NAD=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]

[tex]\angle[/tex]NAM представлява сбор от ъглите: NAD+DAB+BAM.
[tex]\angle[/tex]NAM=[tex]\angle[/tex]NAD+[tex]\angle[/tex]DAB+[tex]\angle[/tex]BAM
[tex]\angle[/tex]NAM=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]+90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]
Или [tex]\angle[/tex]NAM=180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex]=[tex]\beta[/tex]
Ако разглеждаме [tex]\Delta[/tex]MNA и [tex]\Delta[/tex]ACB по втори признак, то:
1. [tex]\angle[/tex]NAM=[tex]\angle[/tex]CBA=[tex]\beta[/tex]
За 2. трябва да докажем, че страните, които заключват съответните ъгли са пропорционални: [tex]\frac{AM}{ AB}=\frac{NA}{CB}[/tex]
КАК???
Ето до тук спирам. Нищо не ми хрумва. Моля помагайте.

[Добромир Глухаров]

[tex]CC_1[/tex] - височина към [tex]AB[/tex]
[tex]\Rightarrow \ \Delta AMB \~ \Delta CC_1B[/tex]

[ganka simeonova]

Явно за б) проблем ти е пропорцията, която трябва да докажеш.
Ползвай а) Имаме
[tex]\frac{AB}{AD }=\frac{AM}{AN }=>\frac{AM}{ AB} =\frac{AN}{ AD} =>\frac{AM}{ AB} =\frac{AN}{ BC}[/tex]

[mail_dinko]

Благодаря.