Подобие

[mail_dinko]

Условието на задачата е: Докажете, че отсечката, свързваща петите на всеки две височини в произволен триъгълник отсича триъгълник, подобен на дадения.
Това нещо аз си го представям така: [tex]\Delta[/tex]ABC: [tex]AA_{1}[/tex]=[tex]h_{BC}[/tex] и [tex]BB_{1}[/tex]=[tex]h_{AC}[/tex];
[tex]\angle[/tex][tex]AA_{1 }C[/tex]=[tex]\angle[/tex][tex]BB_{1 }C[/tex]=90[tex]^\circ[/tex].
До колкото разбирам търеснияте подобни триъгълници са: АВС и [tex]A_{1 }[/tex][tex]B_{1 }C[/tex].
Освен един общ ъгъл С, аз не откривам никави други съответни елементи за 1 или 2 признак. ПОМАГАЙТЕ ако можете

[martin123456]

[tex]\angle BAB_1=\angle BAC=\alpha[/tex]
около четириъгълник [tex]ABA_1B_1[/tex] може да се опише окръжност, понеже AB се вижда под 90 гадуса от ъглите [tex]AB_1B[/tex], [tex]AA_1B[/tex]. от това че има окръжност следва че [tex]\angle B_1A_1B=180^\circ-\alpha[/tex].=> съседният му [tex]\angle B_1A_1C=\alpha[/tex]. ето 2ри ъгъл.

[mail_dinko]

Искам да ви попитам за съответните пропорционални отсечки. Според мен това са: [tex]\frac{AB}{A_{1}B_{1} }[/tex]=[tex]\frac{BC}{B_{1}C}[/tex]=[tex]\frac{AC}{A_{1}C}[/tex]=k. Вярна ли е пропорцията?
Може ли да ми обясните за "отсечка се вижда под ъгъл"- това изобщо не го знам. В осми клас не ни го обясниха.
И искам да попитам следното: аз знам, че около 4ъг. може да се опише окръжност ако сбора на двете срещуположни двойки ъгли е 180 градуса. Това, което вие сте написали може би е някакви теорема, която ние не сме учили в училище?

[martin123456]

да, вярна е пропорцията
'отсечка се вижда под ъгъл' си е теорема от училище
"за сбора на срещуположни ъгли" - да, аз това съм използвал (там дето има 180 - ъгъла)

[martin123456]

сега ще док това за виждането под еднакъв ъгъл
нека AB се вижда от D и C под еднакъв ъгъл, т.е. [tex]\angle ADB = \angle ACB[/tex].
Да допуснем, че точките A,B,C,D не лежат на една окръцност. виж рпимерния чертеж. нека опишем окръжност около [tex]\Delta ADB[/tex] и тя пресича [tex]AC[/tex] в [tex]C'[/tex]. по допускане [tex]C \ne C'[/tex]. тъй като сега има окръжност около [tex]ABC'D[/tex], то от вписани ъгли иамме [tex]\angle ADB = \angle AC'B[/tex]. оттук следва [tex]\angle AC'B = \angle ACB[/tex]. но [tex]\angle AC'B[/tex] е външен за [tex]\Delta CC'B[/tex] и значи е по-голям от [tex]\angle C'CB[/tex]. противоречие.

[mail_dinko]

А може ли да те помоля да ми разясниш малко за ГМТ и това виждане под ъгъл. Видях, че в сайта има, но не разбирам нищо

[martin123456]

ами в предишния ми пост с допускане на противното доказах че ако отсдечка се вижда под еднакъв ъгъл от 2 различни точки, то краищата на отсечката и тези 2 точки лежат на 1 окръжност

[mail_dinko]

Благодаря за помощта, изясних си.