Дробни уравнения, Виет , Тричлен

[Гост]

Утре ще имам контролно по математика и спешно ми трябват решенията на ето тези задачи....
Благодаря ви много

[math10.com]

Драги ми приятелю,
Проблемът ти е, че не си научил или си забравил основни неща от материала по математика от 7-ми и 8-ми клас.Математиката е наука, при която не можеш да продължиш напред без да си усвоил учения до момента материал.Съветвам те да си преговориш основно уроците от 7-ми и 8-ми клас ,защото това, на което в момента ти пишат слаб 2 ще ти се струва елементарно в сравнение с това, което те чака скоро.

[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] - квадратен тричлен

[tex]\begin{tabular}{|l}x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\x_1.x_2=\frac{c}{a} \end{tabular}[/tex] - формули на Виет ,където [tex]x_1,x_2[/tex] са корените на [tex]f(x)=0[/tex] (Това е от 9-ти клас)

[tex]\begin{tabular}{|l}ax^2+bx+c=0\\D=b^2-4.a.c\\x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\end{tabular}[/tex] - формули за Дискриминантата и корените на квадратно у-ние (Това е от 8- ми клас)

[tex]\begin{tabular}{|l}(a\pm b)^2=a^2\pm a.b+b^2\\(a-b)(a+b)=a^2-b^2\\(a\pm b)3=a^3\pm a^2.b+a.b^2\pm b^3\\a^3\pm b^3=(a\pm b )(a^2\mp a.b+b^2)\end{tabular}[/tex] - формули за съкратено умножение (това е от 7-ми клас)

Сега към задачите:
задача 1
С помощта на формулите за съкратено умножение трябва да изразим търсеното по условие чрез [tex](x_1+x_2)[/tex] и [tex](x_1.x_2)[/tex].От 1-вата написана по-горе формула изразяваме:
[tex](x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1.x_2+x_2^2 ; =>x_1^2+x_2^2 =(x_1+x_2)^2- 2x_1.x_2[/tex]
И сега от формулите на Виет намираме:[tex]a=1, b=5, c=1 ; =>(x_1+x_2)=\frac{-b}{a}=-5[/tex] и [tex]x_1.x_2=\frac{c}{a}=1[/tex]
[tex]=>x_1^2+x_2^2 =(x_1+x_2)^2- 2x_1.x_2=(-5)^2-2.1=25-2=23[/tex]

задача 2
[tex]16x^4-1=0[/tex]
С помощта на формулата за съкратено умножение [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex] разлагаме на множители:
[tex]16x^4-1=(4x^2)^2-1^2=(4x^2-1)(4x^2+1)=[(2x)^2-1^2](4x^2+1)=(2x-1)(2x+1)(4x^2+1)=0[/tex]
И тук приравняваме на нула всеки един от получените множители:
[tex]2x-1=0 ; =>x=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]2x+1=0 ; =>x=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]4x^2+1>0[/tex] , за всяко [tex]x\in R[/tex]

задача 3
[tex]x^4-6x^2+5=0[/tex] - Това се нарича Биквадратно уравнение и се решава с полагане [tex]x^2=y \ge 0[/tex]
[tex](x^2)^2-6x^2+5=0[/tex]
[tex]y^2-6y+5=0[/tex]
[tex]a=1,b=-6 , c=5[/tex]
[tex]D=b^2-4.a.c=(-6)^2-4.1.5=36-20=16[/tex]
[tex]y_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-6)+\sqrt{16}}{2}=\frac{6+4}{2}=5[/tex]
[tex]y_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-6)-\sqrt{16}}{2}=\frac{6-4}{2}=1[/tex]
След като намерихме стойностите за [tex]y[/tex] се връщаме към полагането:
[tex]x^2=y_1=5 ; =>x^2-5=0[/tex]
С помощта на формулата за съкратено умножение [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex] разлагаме на множители:
[tex]x^2-(\sqrt{5})^2=(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})=0[/tex]
И тук приравняваме на нула всеки един от получените множители:
[tex]x-\sqrt{5}=0 ; =>x_1=\sqrt{5}[/tex]
[tex]x+\sqrt{5}=0 ; =>x_2=-\sqrt{5}[/tex]

[tex]x^2=y_2=1 ; =>x^2-1=(x-1)(x+1)=0[/tex]
И тук приравняваме на нула всеки един от получените множители:
[tex]x-1=0 ; =>x_3=1[/tex]
[tex]x+1=0 ; =>x_4=-1[/tex]