Да се докаже, че ортоцентъра лежи на вписаната окръжност.

[mail_dinko]

Тази задача ми попадна случайно и много се озадачих: Имаме равнобедрен триъгълник. Бедрото се отнася към основата така както 3:4. Да се докаже, че ортоцентъра (пресечна точка на височините) на триъгълника лежи на вписаната окръжност.

[ins-]

Не съм я решавал, но не изглежда трудна. Имаш проблеми с нея ли или просто ти е харесала?

[mail_dinko]

Ами разгледах я, напрвих чертежа, обаче до тук. Дори си правих чертежа абсолютно точен. Знам че вписаната има център пресечна точка на ъглополовящите; ъглополовяща, медиана и височина към основа в равнобедрен съвпадат.

[ins-]

Значи ... щом основата и бедрото се отнасят както 4:3 - можеш да означиш дължините им с 4а и 3а.
Означи пресечната точка на вписаната окръжност с височината към основата с P1.
Нека ортоцентъра на триъгълника е H, той също лежи на височината към основата.
следователно, за да съвпадат P1 и H - необходимо е да докажем, че MP1=MH, където М е средата на основата.
Това би могло да стане с питагорова теорема и подобни триъгълници.

[mail_dinko]

Подобни триъгълници учим в момента, вече ги изучихме де; питагорова все още не; единственото, което знам за нея е: [tex]a^{2}[/tex]+[tex]b^{2}[/tex]=[tex]c^{2}[/tex] - сбор от квадрати на двата катета= квадрат на хип.

[b1ck0]

Като спуснеш медиана от върха, вече бедрото се отнаса към половината от основата както 3:2 т.е:
[tex]4.x^2 + y^2 = 9.x^2[/tex]
[tex]y^2 = 5.x^{2}[/tex]
[tex]y = sqrt{5}.x[/tex] - което се явява и височина ( медиана, ъглопововяща ) в триъгълника.
Остава да докажем че ортоцентъра лежи на разстояние [tex]2.r[/tex] от основата.
Радиуса на вписаната окръжност ще намерим лесно като изразим лицето на триъгълника по 2 начина:
[tex]S_{ABC} = \frac{a.h_{a}}{2} = \frac{4.x.sqrt{5}.x}{2} = sqrt{20}.x^2[/tex]
[tex]S_{ABC} = \frac{a+b+c}{2}.r[/tex]
[tex]r = \frac{2.S_{ABC}}{a+b+c}[/tex]
[tex]r = \frac{2.sqrt{20}.x^2}{10x}[/tex]
[tex]r = \frac{sqrt{20}}{5}.x[/tex]
След като намерихме радиуса на вписаната оккръжност, остана да докажем че височините се пресичат на разстояние [tex]2.r = \frac{2.sqrt{20}}{5}.x[/tex] от основата.
Построяваме окръжност с център средата на бедрото АС и радиус [tex]\frac{AC}{2} = \frac{3}{2}.x[/tex]
Точките [tex]A_{1} ; C_{1}[/tex] (петите на височините през С и А) лежат на тази окръжност.
От метричните зависимости в тази окръжност получаваме:
[tex]\frac{C_{1}H}{AH} = \frac{A_{1}H}{CH}[/tex], но от друга страна:
[tex]\left(AC_{1}\right)^{2} + \left(C_{1}H\right)^{2} = AH^{2}[/tex]

[tex]\frac{Y}{sqrt{4.x^2+Y^2}} = \frac{\frac{2.sqrt{20}}{15}-sqrt{4.x^2+Y^2}}{sqrt{5}.x-Y}[/tex]

Само дето не се получава желания резултат накрая ...

[ins-]

Не ми се смята - трябва да ставам рано утре - би могла да се използва и формулата: S=pr
За питагоровата теорема - това е всичко, което трябва да знаеш, за да си решиш задачата.
За да се провери дали твърдението е коректно - би могла да се използва геометрична програма - Geogebra
например.

[ganka simeonova]

Не ми се смята - трябва да ставам рано утре - би могла да се използва и формулата: S=pr
За питагоровата теорема - това е всичко, което трябва да знаеш, за да си решиш задачата.
За да се провери дали твърдението е коректно - би могла да се използва геометрична програма - Geogebra
например.

Инс, погледни си постовете. Почти всичики са: утре ставам рано, днес стана много късно и пр..
Или реши една задача както трябва, или...

Да означим пресечената точка на височината към основата с вписаната окр с Н, петата на височината към основата с Q и пресечната точка на правата СН с описаната окр. с Р.
За да докажем, че Н е ортоцентър, трябва да док, че HQ=QP (защото ортоцентърът е симетричен на Р относно АВ)
Означаваме [tex]AQ=2x; AC=3x=>CQ=\sqrt{5} x[/tex]
От свойството на пресичащите се хорди =>[tex]PQ.QC=AQ.QB=>PQ=\frac{4x}{ \sqrt{5} }[/tex](1)
От [tex]S=pr=>r=\frac{2x}{ \sqrt{5} } =>HQ=\frac{4x}{ \sqrt{5} }[/tex](2)
От (1) и (2) следва, че Н е ортоцентър.

[mail_dinko]

Благодаря

[ins-]

или ... ганка ще я реши
"умният разбира и от 1 дума" - не съм го измислил аз,
а задачата не е трудна - не разбирам, защо са толкова много напъни и мъки.

[ganka simeonova]

или ... ганка ще я реши
"умният разбира и от 1 дума" - не съм го измислил аз,
а задачата не е трудна - не разбирам, защо са толкова много напъни и мъки.

Естествено, че не е трудна
Ами, преди да напиша решението, наистина се нагледах на напъни и мъки