Задача от 9 клас математическа гимназия София

[babila]

ДАДЕН Е РАВНОСТРАНЕН ТРИЪГЪЛНИК ABC С МЕДИЦЕНТЪР Т.O. В/У СТРАНАТА BC Е ВЗЕТА Т.K ,ТАКА ЧЕ CK:KB=1:4.ПРАВАТА KO ПРЕСИЧА AC В ТОЧКА N,КАТО ОТСЕЧКАТА NO =1 CM.НАМЕРЕТЕ ЛИЦЕТО НА ТРИЪГЪЛНИК ABC.

МОЛЯ ПО ВЪЗМОЖНОСТ ЗА РЕШЕНИЕ И ПРЕДВАРИТЕЛНО БЛАГОДАРЯ.

[Knowledge Greedy]

Означаваме дължината [tex]AB=30x.[/tex] Тогава от условието дължината [tex]CK=6x.[/tex]
Да построим допълнително [tex]X\in AC[/tex] такава, че [tex]OX||BC[/tex] и средата [tex]M[/tex] на [tex]BC[/tex], значи [tex]CM=15x.[/tex]

СМГ math beasts 28 feb 14.PNG (9.33 KiB) Прегледано 255 пъти

Знаем, че [tex]AO:AM=2:3[/tex] (Свойство на медицентъра [tex]O\in AM[/tex] ).
Прилагаме теоремата на Талес за [tex]\angle MAN[/tex] и двойката успоредни прави [tex]BC||OX[/tex]. Получаваме [tex]\frac{OX}{CM }= \frac{AO}{AM }= \frac{AX}{AC }[/tex]. Получаваме, че [tex]OX= 10x[/tex] и [tex]XC= 10x[/tex].
Прилагаме теоремата на Талес за [tex]\angle ANO[/tex] и двойката успоредни прави [tex]BC||OX[/tex]. Получаваме [tex]\frac{NX}{NC }= \frac{OX}{CK }= \frac{NO}{NK }[/tex]. С означенията и получените дължини по-горе, от тези равенства за намираме и [tex]NC=15x[/tex], а с косинусова теорема за триъгълника [tex]\Delta NOX[/tex] намираме [tex]x = \frac{1}{ 5\sqrt{37} }[/tex] и то дава [tex]AB=\frac{6\sqrt{37} }{37 }.[/tex]

[math10.com]

Има техническа грешка в изчисленията.
[tex]1=(25x)^2+(10x)^2-2.(-\frac{1}{2}).10x.25x=975x^2[/tex]
[tex]x=\frac{1}{\sqrt{975}}=\frac{1}{5\sqrt{39}}[/tex]