Подобни триъгълници -ОРТОЦЕНТЪР!

[vgeor]

Здравейте!
Имам проблем с една задача и от доста време ме мъчи
Да се докаже, че разстоянието от ортоцентъра на триъгълник АВС до върха С е равно на R тогава и само тогава, когато [tex]\angle ABC=60^\circ[/tex]
Моля да ми помогнете!
БЛАГОДАРЯ!

[Knowledge Greedy]

Нека [tex]H[/tex]е ортоцентър. При [tex]HC=R[/tex] в условието да не би да се говори за [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex]?

Иначе логиката на справедливостта постановява и [tex]\angle BAC=60^\circ ,[/tex] което прави триъгълника автоматично равностранен.

[Knowledge Greedy]

Ако [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex], разглеждаме [tex]\Delta OCQ[/tex].

За триъгълника c OH равно на R.PNG (11.52 KiB) Прегледано 317 пъти

Той е равнобедрен [tex]OC=OQ[/tex] като радиуси на описаната окръжност.
От подобните [tex]\Delta OCM[/tex] и [tex]\Delta BCN[/tex] следва, че ъглите [tex]\angle OCM = \angle BCN[/tex], но добре известно е, че са еднакви [tex]\Delta HCD[/tex] и [tex]\Delta QCD[/tex] и ето защо са равни [tex]\angle QCB[/tex] и [tex]\angle OCM.[/tex]
Оттук ъгълът [tex]\angle OCQ= \angle ACB - \angle OCM + \angle BCQ= 60^\circ - \angle BCQ+ \angle BCQ=60^\circ .[/tex]
Следователно равнобедреният [tex]\Delta OCQ[/tex] стана равностранен, с всички страни радиуси и т.к. [tex]CQ = CH[/tex], то [tex]CH= R -[/tex]радиусът на описаната около [tex]\Delta ABC[/tex] окръжност.
Обратното - ако [tex]CH= R[/tex], то [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex], става аналогично в обратна посока.